ALKALMAZOTT MATEMATIKAI LAPOK 18. KÖTET (A MTA Matematikai és Fizikai Tudományok Osztályának Közleményei, 1994-1998)

GYIRES BÉLA: A kettősen sztochasztikus matrixokra vonatkozó van der Waerden sejtés elemi bizonyítása

Alkalmazott Matematikai Lapok 19 (1998) 3-10 A KETTŐSEN SZTOCHASZTIKUS MÁTRIXOKRA VONATKOZÓ VAN DER WAERDEN SEJTÉS ELEMI BIZONYÍTÁSA GYIRES BÉLA Debrecen 1. Bevezetés (a) Jelölje Е,г an n-dimenziós valós vektorteret, elemei legyenek oszlopvektorok, e­s Шп jelölje azt a vektort, amelynek minden komponense az egység. Jelölje AJ az n x n típusú valós mátrixok halmazát. Legyen A* E AJ az A E AJ transzponáltja. E E AJ jelölje az egységmátrixot. Az A · (ajk ) AJ mátrix permanensén, jelölése PerA, értjük a PerA , Cil­i • • • Cl­in kifejezést, ahol az (L,... ,in) szummáció a teljes szimmetria csoportra terjesztendő ki. Jelölje Г azoknak a (pi,... ,ßn) vektoroknak a halmazát, amelyeknek komponensei olyan nem negatív egész számok, amelyek eleget tesznek a C ‰pk‰n (fc = l,...,n), pi +••• + /?„ =n feltételeknek. Jelölje Cp1...ßn(A) azt a mátrixot, amely az A € AJ matrix oszlopaiból tevődik össze a következőképpen. Az A matrix fc-adik oszlopa pk-szor szerepel a Cp1...Bn(A) matrixban és (/?i,... ,ßn) E Г. Ha pk = 0, akkor az A matrix fc-adik oszlopa nem szerepel a Cp1...ßn(A) matrixban. Legyen A = UAV* az A € AJ matrix polár előállítása, ahol U E AJ, V E AJ, UU* = VV* = E és U E AJ diagonális mátrix, amelynek diagonális elemei nem negatív számok. Legyenek ezek Ai ‡ • • • ‡ A„ · 0 csökkenő sorrendben elrendezve. Alkalmazva a Cauchy-Binet-féle kifejtési tételt ([10], Theorem 1.3), azt kapjuk, hogy (1.1) Per A = Y, f Per C01...Bn (U)Per C01...Cn (V)• No...А)€Г Л­...Pn. (b) Legyen К. E AJ azoknak a mátrixoknak a halmaza, amelyekben valamennyi sor- és oszlopösszeg egyenlő az egységgel. Szüleim és nővérem emlékezetére . (ú,...,in) Alkalmazott Matematikai Lapok (1998)

Next