Matematikai Lapok, 1956 (7. évfolyam, 1-4. szám)

1956-11-01 / 3-4. szám

316 egyetlen fixpontja van: a paraboloidok közös (0, 0, 0) csúcspontja; ha tehát a Pt. = (xn, x2(1, хю) pont az p‘-on van és x10, x20,x30 nem mind 0-ok, akkor képe, P2 = (хя, —хю, —x^) az P*-on van, s különbözik P,-től. De akkor az e = PP3 egyenes egyértelműen meghatározott, s az yx = x10 + t(x10—xn), y2 = x,0+/(—x,0'—x,d­), y3 = x30 + /(—2x30) paraméteres alakban adható meg. Ebből már közvetlenül látható, hogy az e egyenes benne van az ET-ot P-ben érintő Х10У1 -f-Х20У2= ^зо -HУл síkban, valamint az P*-ot P,-ben érintő X,uyx—X,„y2 =—(—хт)—уя síkban. Kovács László Hasonlóan oldották meg: Fáy Árpád, Papp Zoltán, Schmidt Eligiusz (utóbbi a forgási paraboloidra való redukció nélkül). 2. Konstruktív megoldás. Legyen Fx egy tetszésszerinti ellip­tikus paraboloid és P, ennek egy tetszésszerinti pontja, Fx ten­gelyét jelöljük /-vel. Legyen ex a P, ponton átmenő /-re merőleges sík és jelöljük 0,-gyel /-nek és épnek a metszéspontját. Legyenek végül a és b a a, és P, metszeteként adódó ellipszis tengelyei. Tükrözzük p-et a C csúcspontjában érintő síkra; Fx képe legyen F'. Ezután nyújtsuk a teret b irányában úgy, hogy чР-ből F' forgási paraboloid keletkezzék, majd végezzünk a­­ tengely kö­rül 9­ P-os forgatást. Végül végezzünk b irányában az előbbi nyúj­tással azonos mértékű zsugorítást; ezzel P2 egy P2 elliptikus pa­­raboloidba megy át. Ezeknek a leképezéseknek egymásutáni végre­hajtása végeredményben affinitást ad. Nyilvánvaló, hogy a fenti leképezésnél p (nem pontonként, hanem egészében) tükörképébe megy át, mégpedig minden egyes Px pont képe a tükörképéhez, P'-höz tartozó normálmetszeten a P'-t tartalmazó átmérőhöz kon­­jugált átmérő P2 végpontja. E normálmetszet síkját jelöljük a2-vel. Megmutatjuk, hogy a PXP, egyenes mind p-et, mind P2-t érinti. A [/, P] sík parabolát metsz ki p-ből, ennek P-beli e érin­tője és a abbeli normálmetszet / érintője meghatározzák az p-et a Px pontban érintő [e,f\ síkot. A parabola elemi tulajdonsága szerint e a /-t olyan 02 pontban metszi, amelyre OxC , 0,C, de akkor a p, is /-t 02-ben metszi. Mivel a P'-höz tartozó normál­metszet P'-beli érintője párhuzamos /-fel, s 02P2 az O,P'-höz konjugált átmérő, ezért CLP, párhuzamos /-fel. Eszerint P,, s vele együtt PP, benne van az p-et P,-ben érintő síkban, tehát p-et érinti; szimmetria okokból (felcserélve p és F, szerepét) P­-t is érinti. Ezzel a kívánt bizonyítást elvégeztük. Kántor Sándor

Next