Állami Ybl gimnázium, Székesfehérvár, 1872
Mindenekelőtt lássuk, hogy miben áll a három módszer. E végre legyen a Ferrari-féle, mint legrégibb, az első. Felfedeztetését leginkább azon feladatok idézték elő, melyeket az olasz mennyiségű tudósok egymásnak adtak. Egy ily feladatnak alakja re4—- ax2-\- bx-\~ c^o volt. Ferrari a következőre változtatta : x4 — ax1— bx— c és meglevén győződve, hogy a feloldás sikerülen, ha a kifejezéseket mindkét oldalon négyzetekké kiegészítheti, hozzáadott mindkét oldalhoz 2mx1-\-mal-t, miáltal nyerte: rr4 -f- 2mx2-\~ m2 (2m —a) x1 —bx-\- m2—c A baloldal nem más, mint: (x2-\-m)2; tehát még csak m-et volt szükséges meghatározni úgy, hogy az egyenlet jobboldala is tökéletes négyzetet adjon. Ha most e kifejezést, (rx-\-n)2 r2x22mx-\-n2-et összehasonlítjuk, kitetszik, hogy ezen esetben a következő egyenleteknek kell állni: r‘2~ 2m — a vagy r +y 2m—a7. (1) 2rn —b . ......................................(2) m - —c, tehát n +Y ml—c (3) és így a (2) alatti egyenlet még: 2m — 2 V 2m —a.\ m2 —c—b, vagy 4 (,2m—a) (m2—c) · ll kifejtve és rendezve: 4 a c — b2m°— —cm--------— - — o (1) O 3 a.^ A feladott egyenlet ez által harmad fokúra (Lagrange szerint resolvens, réduite, ridotta) vezettetett vissza, melynek feloldását már ismerték, m segítségével (1) és (3) alatti egyenletekből meg lehetett n és r menynyiségeket határozni, miáltal azután az, az adottal azonos (x2 -j- m)2 = (rx -|- n)'1, vagyí *2-(- m — Tx -)- n i x 2-j- m — — rx — tehát (x2-(- rx -f- m -f-n). (x2— rx -f- m — n)—o képeztetett, E két másodfokú gyöktényező feloldása által juthatni az adott negyedfokú egyenlet gyökeihez. A negyedfokú egyenleteket ezután is :/;4 -f- ax2 + te + cso alakban fogjuk felvenni, miután A az általánosabb alak: x, '-\-Ax,3-\-Bx, ~-\-Cx, -\-D = o,x,=x — - -nek behelyettesítése által mindig A könnyen vonható össze az első alakba. Az összevont egyenlet gyökei azután -~-el kisebbek. Mind az, mi az ) (l)-el jelzett resolvensre áll, áll az általánosított resolvensről is, melyet úgy nyerünk, ha rxm -)-' x-\-m ^ 2 — (rx-\-n) 2 egyenletet kifejtjük, a nyert egyenlet együtthatóit azonosítjuk x2 -(- Ax i -)- Bx'1 -1~ Cx -f- 1) — a egyenlet együtthatóival, és a feltételi egyenletekből m-et meghatározzuk. Az ekkép általánosított Ferrari-féle resolvens: Mielőtt e módszer és resolvensének discussiójába bocsátkoznánk, előbb lássuk, miben áll a Cartes-féle feloldás. Descartes olykép oldotta fel xk -j- ax'l-- bx -- c — a egyenletet, hogy ő azt két 3 tagú tényező szorzatának tekintette, mely, minthogy a felállított egyenletben a második tag hiányzik, csak ily alakú lehet x 1 k x A~ u = 0 és x2 — kx-\- v =0, szorzatuk ugyanis 3 B , , m— —m-\AB —41) C2+ AD —4BD —m ■ — 0