Gazeta matematică și fizică: Seria B, 1965 (Anul 16, nr. 1-12)
1965-01-01 / nr. 1
GAZETA MATEMATICĂ PUBLICAȚIE LUNARĂ PENTRU TINERET (SERIA B) Anul XVI, nr. 1 ianuarie 1965 XIV DESPRE ȘIRURILE RECURENTE de 108 S. CRISTEA 1. Să considerăm un șir simplu {un)nÇN=u1,ut,...un,...r (1) ai cărui termeni sînt numere reale sau complexe. Să presupunem că între termenii acestui șir există o relație de dependență de forma F {Un, Vn_1, t/„_,.... ”/„_*, n, a) = 0, (n , k) (2) unde funcția F și numărul k + 1 al termenilor consecutivi Un, („_3,... ип к este același indiferent de rangul n. Prin a s-a notat un parametru sau un grup de parametri de care ar depinde șirul (1). Un șir {Un noN pentru care termenii săi satisfac o relație de tipul (2) se va numi șir recurent. Dacă relația (2) este unică, numărul ce intervine în această relație se numește ordinul șirului recurent, iar relația (2) — relație de recurență. Vizibil, dacă întreg + 1 termeni consecutivi oarecari ai șirului (1) există două relații de tipul (2) independente, atunci eliminînd între aceste relații pe sau Un, obținem o relație de forma (2) dar între termeni consecutivi ai șirului, nicit șirul respectiv va fi un șir recurent de ordinul k—1. Rezolvată în raport cu Un relația de recurență (2) se poate scrie sub forma mai uzuală Un = f(Un-1 („_*, n, O ),(f, k) (2") unde Un se poate obține cu ajutorul primilor termeni consecutivi precedenți Un-1, f7„_,,... ”/„_fc ai șirului (1). Dacă în particular, în (2) funcția f este o funcție lineară și omogenă de Un—Un—2>e*a adică Un—A j (n, а) Un_r -1-Ag(rt,o) Un_a Ak (n, n) („_* (n ( к > 1 ) (3) *) Notația Un )n × N este o scriere prescurtată a șirului £/,, U2,..., Un,... Prin n £ 8 se arată că n aparține mulțimii N a numerelor naturale. 1