Középiskolai Matematikai Lapok 41. (1970, 6-10. szám)
1970-09-01 / 6. szám
Az 1970. évi Országos Középiskolai Matematikai Tanulmányi Versenyek A verseny változatlanul, a múlt évi szervezeti rend szerint folyt le. A február 17-én tartott I. fordulóban 367 iskola 4866 tanulója adott be dolgozatot. 239 versenyző kapott behívót az április 15-én tartott II. fordulóra, közülük 57 volt valamelyik szakosított matematikai osztály tanulója. A versenyek tételei a következők voltak: 1. forduló: 1. Bizonyítsuk be, hogy a következő egyenlet gyöke egész szám. 2. Mekkora a 8 + 68 legkisebb és legnagyobb értéke, ha a és b olyan valós számok, amelyekre a2 + 62 = 1 – 3. Az 1/ = x2 + cx~2 függvények görbéi egy görbe sereget alkotnak, ha c befutja az összes pozitív számot. Messük el egy, az x tengellyel párhuzamos egyenessel a sereg minden görbéjét és valamennyi metszéspontban húzzuk meg az illető görbe érintőjét. Bizonyítsuk be, hogy az érintők egy ponton mennek át. 4. Az ABGD négyszög AB, BG, GD, DA oldalának a kezdő ponthoz közelebbi harmadoló pontja legyen rendre P, Q, B, S. Bizonyítsuk be, hogy az АS és BD átlók felezőpontját összekötő szakasz háromszor akkora, mint a PB és QS átlók felezőpontját összekötő szakasz. 6. Legyen cos x + cos y = a és sin x + sin ] = b, ahol a 2 + 6* 1 0. Fejezzük ki sin (x + y)-t a-val és 6-vel. 6. Egy P pontból két körhöz egy-egy érintőt húztunk. Bizonyítsuk be, hogy ha az érintési pontokat összekötő egyenesből a két kör egyenlő hosszú húrokat metsz, akkor a P pontból a körök egyenlő szögekben látszanak. 7. Az ax2 és az ax2 — ax polinomoknak — ahol a egész szám — megvan az a tulajdonságuk, hogy minden egész x-re az x2 helyen felvett értékük egész többszöröse az x helyen felvett értéküknek. Keressünk további, ilyen tulajdonságú, egész együtthatós, másodfokú polinomokat. 8. Három pozitív szám szorzata nagyobb 1-nél, az összegük kisebb a reciprokaik összegénél. Bizonyítsuk be, hogy a) egyik szám sem lehet 1; b) a számok közül kettő nagyobb, egy pedig kisebb 1-nél. 1 Lásd J. M. L. 39 (1969) 1. o. 1