ALKALMAZOTT MATEMATIKAI LAPOK 9. KÖTET (A MTA Matematikai és Fizikai Tudományok Osztályának Közleményei, 1983)
1983 / 1-2. sz. - Tóth János, Érdi Péter és Török László Turul: A Poisson-eloszlás jelentősége összetett kémiai reakciók sztochasztikus modelljében
Alkalmazott Matematikai Lapok 9 (1983) 175—143 A POISSON-ELOSZLÁS JELENTŐSÉGE ÖSSZETETT KÉMIAI REAKCIÓK SZTOCHASZTIKUS MODELLJÉBEN TÓTH JÁNOS, ÉRDI PÉTER és TÖRÖK LÁSZLÓ TURUL Budapest ,.Tekintettel arra a folyamatos vitára, amely a kémiai reakciókban végbemenő fluktuációkról zajlik, hasznosnak tűnik akár csak egy világosan megfogalmazott eredmény is." VAN KAMPEN [19, 333. oldal] Ismertetjük az összetett kémiai reakciók globális sztochasztikus modelljét a reakciók Volpertféle megadása alapján. Felírjuk a modellre vonatkozó evolúciós egyenleteket. Elégséges feltételt adunk arra, hogy egy reakció stacionárius eloszlása egycsúcsú legyen. Egyszerű születési-halálozási reakciók és polinomiális egyszerű populációs Markov-folyamatok esetén szükséges és elégséges feltételt adunk arra, hogy egy reakció stacionárius eloszlása Poissoneloszlás legyen. Kiderül, hogy ez — az irodalom egy részében kifejezett várakozással ellentétben — igen ritkán teljesül. Vázoljuk a termodinamikai fluktuációelméletnek és a stacionárius eloszlások alakjának a kapcsolatát. Megfogalmazunk néhány, az alkalmazások szempontjából érdekesnek tűnő, nyílt matematikai problémát. Külön függelékben ismertettük WHITTLE egy eredményét, amely bizonyos folyamatok stacionárius eloszlására vonatkozik. Ez a dolgozat a [9, 10, 41, 45] angol nyelvű dolgozatok matematikai eredményeit foglalja össze. 1. Bevezetés Az e helyen megjelent korábbi dolgozatainkban az összetett kémiai reakciók globális (tehát térbeli inhomogenitásokat figyelmen kívül hagyó), folytonos idejű, folytonos állapotterű, determinisztikus modelljével foglalkoztunk, lásd például [43]. Ez a determinisztikus modell — bár történetileg is, gyakorlatilag is fontos — nem elegendően pontos mindenfajta reakciókinetikai jelenség követésére. Kis rendszerek tanulmányozásánál, ,,egzotikus" jelenségek (instabilitás, multistacionalitás, periodicitás) vizsgálatánál, és paraméterbecslésnél esetenként hasznosabb lehet az összetett kémiai reakció szokásos, folytonos idejű, globális sztochasztikus modellje, amely a kémiai rendszer állapotát az atomi-molekuláris szemlélettel összhangban diszkrétnek tekinti, és figyelembe veszi a véletlen ingadozásokat, továbbá inkább kapcsolatba hozható a nemegyensúlyi termodinamika elméletével [6, 8. oldal; 7, 8]. Ezt a modellt elsőként LEONTOVICS fogalmazta meg 1935-ben. A negyvenes évek munkáiból elsősorban — a később fizikusból biokémikussá lett — DELBRÜCK, továbbá SIEGERT egy-egy dolgozata említendő meg. LEONTOVICS, SIEGERT (és az alább idézendő GANS) nem kifejezetten kémiai komponensekről, hanem különböző energiaszintű állapotokról beszélnek, így mmn- 10 Alkalmazott Matematikai Lapok 9 (1983)