ALKALMAZOTT MATEMATIKAI LAPOK 16. KÖTET (A MTA Matematikai és Fizikai Tudományok Osztályának Közleményei, 1992)
1992 / 1-2. sz. - DOMOKOS GÁBOR: Síkbeli, konzervatív tenzormezők forgásszimmetriáinak vizsgálata elemi módszerekkel
Alkalmazott Matematikai Lapok 16 (1992) 1-25 SÍKBELI, KONZERVATÍV TENZORMEZŐK FORGÁSSZIMMETRIÁINAK VIZSGÁLATA ELEMI MÓDSZEREKKEL* DOMOKOS GÁBOR Budapest A mérnöki gyakorlatban általánosan elterjedt az a feltételezés, amely szerint a Taylor-sorfejtés rendjét növelve a vizsgálat eredménye egyre pontosabb lesz, csak kvantitatív információt nyújt. Viszonylag kevés olyan tétel van azonban, amely a Taylor-sor egy adott rendjéhez a matematikai modellben jelentkező minőségi ugrást rendel hozzá. Talán a legismertebb ilyen jellegű megállapítás, hogy az elsőrendű (n = 1) elmélettel nem lehet kritikus terhet, a másodrendű (n = 2) tagok figyelembevételével pedig nem lehet posztkritikus viselkedést számolni. Közvetlenül az utóbbi megállapításhoz csatlakozik ТНОМ (1975) tétele. Тном legfeljebb 5 paraméterig osztályozza a potenciális energia függvény kritikus pontjait. Mindenesetre megadja a lokális vizsgálathoz (tehát a kezdeti posztkritikus viselkedés meghatározásához) elégségesértéket. Ebben a dolgozatban azt mutatjuk meg, hogy a diszkrét forgási szimmetriával rendelkező konzervatív tenzormezők, illetve az ezek által leírt mechanikai jelenségek sok esetben véges sok tagból álló Taylor- sorokkal helyettesíthetők anélkül, hogy a szimmetria-csoport rendje megváltozna. Ezzel azt mutatjuk meg többek között, hogy van olyan, amelyet átlépve a csonkolt sor szimmetriájának rendje megváltozik, amit joggal nevezhetünk minőségi ugrásnak. Az alkalmazások szempontjából érdekes állításokat egy általánosabb tétel korolláriumaiként fogalmazzuk meg. Az általános tétel szerint a kétváltozós polinomokat Cn-szimmetrikus magok és körszimmetrikus részek szorzatának lineáris kombinációjaként lehet felírni. A bizonyított tételek alapján meghatározzuk a kétváltozós polinomcár véges szimmetria-csoportjai rendjeinek legkisebb felső korlátját. Megmutatjuk, hogy melyek a homogén polinomok illetve a konstans, konzervatív tenzormezők esetén lehetséges forgási szimmetria-csoportok. 1. Bevezetés A dolgozat célja kettős: egyrészt áttekintést kíván nyújtani a címben jelzett tenzormezők szimmetria-viszonyairól. Ezen azt értjük, hogy összefüggéseket állapítunk meg a tenzormező rendje, az alkalmazott Taylor-sorfejtés fokszáma és a diszkrét forgásiszimmetria rendje között. A dolgozat ezen első részének a gondolatmenete a következő: A konzervatív tenzormezők vizsgálata visszavezethető az analitikus függvények vizsgálatára, ami viszont a polinomok vizsgálatára redukálható. A dolgozat központi megállapítása a 2.1 lemma illetve a 2.1 tétel, amely a polinomok előállítására egy olyan kettős függvényösszeget ad meg, amely a Taylor és Fourier felbontás keveréke, és ezáltal lehetővé teszi a két sorfejtés közötti kapcsolat vizsgáltát. Ezt a kettős összeget kettős függvénysorra lehet általánosítani az *A kutatást az OTKA a 683 számú téma keretében támogatta. Alkalmazott Matematikai Lapok 16 (1992) MAGYAR TUDOMÁNYOS AKADÉMIA KÖNYVTÁRA 31747 1