Gazeta matematică și fizică: Seria B, 1962 (Anul 13, nr. 7-12)
1962-07-01 / nr. 7
Zicem că am dezvoltat fracția x — -f-în fracție continuă, fracția din p ’ membrul drept al egalității se numește fracție continuă finită și se notează astfel : x = [q, xi, q2,..., qn]• (iF) Aici q este un număr natural (dacă af>b) sau 0 (dacă am fb). celelalte „elemente“ qu qz,.. .,qn ale fracției continue sînt numere naturale*). De exemplu dezvoltarea în fracție continuă a lui x = se face în felul următor : Să considerăm acum fracția continuă (1). Aceasta se poate scrie după efectuarea operațiilor indicate în formă de fracție ordinară. De exemplu : Dacă x = \q] se consideră ca „dezvoltare“ în fracție continuă a numărului întreg q 0 și dacă se ia în considerare, cazul cînd x e negativ, atunci x =— (—x), unde —x e pozitiv, atunci pe baza celor de mai sus se poate formula următoarea propoziție : orice număr rațional se poate reprezenta in forma unei fracții continue finita și invers orice fracție continuă finită reprezintă un număr rațional. Aici avem ocazia de a face o comparație între dezvoltarea în fracție continuă și între dezvoltarea în fracție zecimală a numerelor raționale. Se știe că în cazul fracțiilor zecimale nu avem o propoziție similară celei de mai sus : există numere raționale care nu se pot reprezenta prin fracții zecimale finite. Pe de altă parte, fracțiile zecimale sînt în relație cu numerele raționale x = — prin intermediul numărului 10 (baza sistemului actual de numerotație), ales arbitrar. Amîndouă observațiile se pronunță în favoarea dezvoltării în fracție continuă a numerelor. In schimb operațiile se fac foarte ușor cu fracții zecimale, ceea ce reprezintă un avantaj practic al dezvoltării numerelor în fracție zecimală: [1, 1, 2] = 1 +--------— = l+ -vr ■ 1-f— — 33 2 2 *) Fracțiile continue se pot defini și într-o formă mai generală și în acest caz fracțiile continue definite de noi se zic regulate. Probleme, care în felul de scriere actual, ne conduc la fracții continue se găsesc și în scrierile din antichitate (de. ex. la Euclid), începutul propriu-zis al teoriei fracțiilor continue se pune la secolul XVI, la data de apariție a unei opere a matematicianului italain Bombelli. Cititorul, care dorește să aprofundeze teoria fracțiilor continue, poate să consulte cărțile : A. J. Hineri _ Fracții continue, Edit. Tehnică, București, 1960 și G. Sudan — Geometrizarea fracțiilor continue, Edit. Tehnică, București, 1960. 386