Gazeta matematică și fizică: Seria B, 1967 (Anul 18, nr. 1-12)

1967-01-01 / nr. 1

ASPECTE NEBANALE ALE UNOR CHESTIUNI DE GEOMETRIE EUCLIDIANĂ ALEXANDRU FRODA Prof. univ. București 1. Se știe că bisectoarele unghiurilor egale ale unui triunghi isosc au aceiași lungime. Dar reciproca acestei propoziții, adevărată și ea, cum o putem dovedi elementar? întrebați fiind, cunoscătorii dau de obicei un același răspuns. «Prin reducerea la absurd a afirmației contrare». O asemenea soluție, în lipsa unei demonstrații directe, nu poate fi însă considerată pe deplin satisfăcă­ se notează ::J3 = 2b,­­1C = 2c. Se construiește paralelogramul BB'DC'. Atunci A­CB'JD este isoscel, deoarece B'D = CB' și se înseamnă convenabil egalitatea unghiurilor sale din D și C, scriind b + a — c + e. Presupunerea b+c este însă absurdă, într-adevăr ea ar implica ă+e. Or­din b+c și din comparația între ABCC și ACBB' rezultă B'C>BC', pe cînd d+ e arată că în B'Cl) are loc dimpotrivă BC = B'D> =B'C, c.c.t.d. Reciproca, menționată mai sus, se poate obține însă și printr-o demonstrație directă (fără reducere la absurd). Chestiunea fiind pusă la concurs, sub această condiție, în Anglia, a rămas ani de zile fără răspuns. O soluție corespunzătoare a fost însă publicată de către autorii W. T. Wi­liams și G. T. Savage. Int-o : Se construiește AA’BB’ congruent cu ДАСС ,unde A’B = AC și fie A’E bisectoarea unghiului din A', în primul dintre ele. Fie D intersecția bisectoarelor din­­ ABC dat. Punctele B, A', A, B' sînt conciclice, deoarece­­ ȘiBAB' =­­­BA'B'. La fel, A, A', B, D sînt și ele conciclice, fiindcă B'DA — ABB +­­$:DAB = jfAA'B' + -f ~ -IBA'B' = așadar ■ț.AA'B și unghiur­ile EDA sînt suplemen­tare. Cercurile respective au, în fig. 1, centrele în 0, 0'. *) Gazeta matematică 1909 pg. 65, 1945, pg. 38, 73, și 250. ** Congruent Înseamnă invers egal cu excepția unei translații. 2

Next