Középiskolai Matematikai Lapok 32. (1966, 1-5. szám)

1966-01-01 / 1. szám

Az 1965. évi Arany Dániel tanulóversenyek II. fordulóján kitűzött feladatok megoldása (Haladók versenye, az általános verseny feladatai) 1. feladat. Alakítsuk szorzattá a következő kifejezést: ‡*‡ [(a -­c)2 + (6 — d)2} • (a2 + b2) — {ad - be)2. Megoldás. Jelöljük az átalakítandó kifejezést is-val. A kéttagúak négy­zeteit tagokra bontva és részben beszorozva: „ = [a2 + b2 + c2 + d2 — 2 {ac + bd)](a2 + b2) — a2d2 — b2c2 + 2abcd —­­ {a2 + b2)2 + (c2 + d2) {a2 -( b2) — 2(ac + bd) (a2 + b2) — — a2d2 — b2c2 -f 2 abcd­. A második szorzatot tagokra bontva összevonások után a szorzatból két tag marad, amelyek az utolsó taggal együtt teljes négyzetet alkotnak: a2c2 + b2d2-\­­+ 2abed = (ac + bd)2. így ρ is teljes négyzet: ‡ — (a2 + b2)2 + (ad + be)2 — 2(ac + bd) (a2 + b2) = [a2 + b2 — (ad + be)]2. Ezzel Λ-t két (egyenlő) tényező szorzatává alakítottuk. 2. feladat: Legyen az N szám nagyobb, mint a jegyeinek fordított sorrendben való leírásával keletkező F szám. Bizonyítandó, hogy (1) ÍN › N - F. Megoldás. Ha az N számban a számjegyek száma páros, akkor a feladat állítására találhatók­ ellenpéldák, pl. /87 ·87 — 78 = 9, /8108·8108 — 8018 = 90. Páratlan számú számjeggyel írt N számokra viszont az állítás igaz, először ezt bizonyítjuk be, majd a páros esetben meghatározzuk azokat a számokat, amelyekre az állítás nem érvényes.1 I. Legyen N jegyeinek száma 2k + 1. Ekkor N kisebb a legkisebb 2k -1- 2 jegyű számnál, ami 102/1+1, ezért (2) YN < /l02A+1 = 10А • /ТО < 4 • 10ft. Megmutatjuk, hogy N — F semmilyen megengedett AT-je nem kisebb a négyzetgyökre itt talált felső korlátnál.­ ­ Mint a versenyről kiadott jelentés közölte — lásd К. M. L. (31) 1966. 3. o. — а feladat szövegéből sajnálatosan kimaradt az a megszorítás, hogy az állítás páratlan számú számjeggyel írt természetes számokra bizonyítandó. — Szerk. )

Next