Középiskolai Matematikai Lapok 34. (1967, 1-5. szám)

1967-01-01 / 1. szám

L­ j-­ ja, Lv illetőleg L2 e paralelogrammák átlóit, tehát 2 — 2 tekintetbe veendő sza­kaszt feleznek; az A­A' és BB' oldalak felezőpontjai, Iv illetőleg I2 csak ezt az 1 — 1 szakaszt. A felsorolt pontok az ABB'A' paralelogramma i1/2 középvona­lának különböző pontjai és azt 4 egyenlő szakaszra osztják. Hasonlóan 5 különböző pontot kapunk az A, E, B és N­', J', F' pontok közül egyet-egyet összekötő 9 szakasz felezőpontjaiból, az ABF'H' paralelog­ramma NII NI2 középvonalán. Ez az AH' szakasz felezőpontján megy át és párhuzamos AH-vel, így különbözik az előbbi 5 pontot tartalmazó egyenestől. Ugyanez az öt pont adódik a H, J, F és az A', E', B' pontok közül egyet­­egyet összekötő szakaszok felezőpontjaiból, hiszen pl. az AA'H'H paralelog­rammában az AH' és HA' átlók felezőpontja egybeesik, hasonlóan a többi megfelelő szakaszpárok felezőpontjai is, így ez az 5 pont rendre 2, 4, 6, 4, 2 megrajzolandó szakaszt felez. 5—5 különböző pont adódik az alább felsorolt két-két ponthármas felező­pontjaiként is, egy-egy az AH-vel párhuzamos egyenesen: III. A, E, В és D', G', С', IV. H, J, F és D', G', С', V. D, G, О és D', G', C'; H, J, F és H', J', F', D, G, C és H', J', F'\ D, G, C és A', E', В'; és az egy oszlopban álló ponthármas­ párok ugyanazt az 5 pontot adják, mert pl. az ADU A' paralelogramma AD' és DA' átlóinak, valamint HIF közép­vonalának felezőpontja közös, a IIIj pont. A IIIj és III2 pontokkal meghatá­rozott szakaszon levő 5 pont rendre 3, 6, 9, 6, 3 figyelembe veendő szakaszt felez, a IVrgyel és IV2-vel meghatározott szakasz pontjai 2, 4, 6, 4, 2 szakaszt, végül az УгУ2 szakasz 5 pontja 1, 2, 3, 2, 1 pontot. A sorra vett 9 ponthármas­párban mind a 81 szakasz felezőpontját figyelembe vettük. A Illj-ből kiinduló pont­ ötös különböző az Ij-ből és IIrből kiindulótól,, hiszen a kezdőpontok az A­A', AH', AD' szakaszok felezőpontjai, és össze­kötő egyenesük AH-vel párhuzamos. Ugyanígy IV. és Vx is különbözik a többi kiindulópontoktól. Mindezek szerint 5­­ 5 - 25 különböző felezőpontot kap­tunk. Megjegyzések: 1. Elindulhatunk a különböző felezőpontok megszámlálá­sában úgy is, hogy egy kiszemelt pontpár felezőpontjára tükrözzük H'-t — ami által a­'-ből kiszemelt pont képe mindenesetre a H-ből kiszemelt pontba esik —, és számba vesszük, hogy P' további megjelölt pontjainak tükörképei közül hány esik egybe H-nek egy további megjelölt pontjával, így a JJ' szakasz­­ felezőpontjára való tükrözéssel P' mindegyik megjelölt pontjának képe H-nek egy megjelölt pontjába esik, az 1 pont 9 szakaszt felez, vagyis ugyanerre a fe­désre vezet az A és C', az E és G', ... , a H és F' pontpárból való kiindulás. A JE', JF', JG' és JH' szakaszok felezőpontjai 6—6 szakaszt feleznek, mert pl. a JE'-nek M felezőpontjára való tükrözés A'H'-t FH-ra, H'F'-t BA-ra viszi, s így tovább. — Ezen az úton kissé nehézkes a már számba vett pontpárok nyilvántartása. Egy további elindulási lehetőség: tekintsük az A-ból P' összes megjelölt, pontjaiba vezető szakaszok felezőpontjait, ezek P' felére kicsinyített képét adják, vagyis 9 különböző pontot. H'-nek egymás után H-ből, H-ből, H-ből és C-ből való hasonló kicsinyítésekor egybeesések miatt csupán 3—3 új felező­pont adódik, a G-ből és H-ből való kicsinyítéskor már csak 2—2, végül a G-ból és J-ből való kicsinyítéskor már egy sem. Ennek lépésről lépésre való pontos átgondolása szintén hosszadalmasabb a fentinél. 2

Next