Középiskolai Matematikai Lapok 35. (1967, 6-10. szám)

1967-09-01 / 6. szám

Az 1967. évi Országos Középiskolai Matematikai Tanulmányi Versenyek A Művelődésügyi Minisztérium által a III. és IV. osztályos tanulók részére az összes tárgyak keretében tartott matematikai verseny I. fordulója február 9-én iskolánként, II. fordulója április 14-én megyénként, városonként folyt le, mindkétszer 5 órai munkaidővel. A 11. fordulóra 322 tanuló kapott behívót, közülük 14 volt valamelyik matematika-fizika-szakosított osztály tanulója és 38 valamelyik matematika-szakosított osztály tanulója. Ez évben először a szakosított tantervű matematikai osztályok részére külön versenyt írt ki a minisztérium; a szakosított tantervű matematika-fizika osztályok tanulói viszont az általános tantervű osztályok versenyén vettek részt, de egy kijelölt feladat helyett egy külön feladatot kellett kidolgozniuk. A versenyek tételei a következők voltak: I. forduló, általános tantervű osztályok részére 1. Az a, b, c valós számokra fennáll az a1. 2 + b2 + c2 = ab + bc + ca egyenlőség. Bizonyítsuk be, hogy ekkor a = b = c. 2. Az ABGD egyenlő szárú trapézban AB\\CD, az állók metszéspontja M, és AB ›CD = = AD. Tekintsük a CDM és CD A háromszög beírt körét. Bizonyítsuk be, hogy ennek a két körnek a középpontja egyenlő távolságra van a trapéz köré írható kör középpontjától. — Fejezzük ki ezt a távolságot a körülírt kör sugarával és a BAD szöggel. 3. A PTS háromszög P-nél levő szöge 60°. Fejezzük ki annak a körnek a sugarát PT- vel és PS-sel, amely a T pontban érinti a PT egyenest és átmegy az S ponton. A szakosított tantervű matematika — fizika osztályok ver­senyzőinek a 3. feladat helyett a következőt kellett kidolgozniuk: 4. Egy hegycsúcs magassága egy előtte elhaladó egyenes, vízszintes útszakasz három egymás után kijelölt pontjából rendre 19,5°, 28,9°, illetőleg 33,7° szög alatt látszik. A második pont 100 m-re, a harmadik 250 m-re van az elsőtől. Milyen magas a hegy (az út szintje fölött), és mekkora a talppontjának az úttól való távolsága? I. forduló, a szakosított tantervű matematikai osztályok részére 1.­­Jelentsenek a, b, c komplex számokat. Bizonyítsuk be, hogy amennyiben a + b + c = ab + bc + ca, és a2 + b2 + o2 = a2b2 + b2c2 + e-a'-, akkor an + bn+cn = anbn + bncn + cnan, minden a­n-mal nem osztható a természetes szám esetében. 1

Next