Középiskolai Matematikai Lapok 42. (1971, 1-5. szám)

1971-01-01 / 1. szám

Válasszuk 0-t úgy, hogy a vizsgált mértani helyhez tartozzék, vagyis OA­­­­,0B legyen. (Könnyen látható, hogy van ilyen pont; 1. ábra) Ekkor A'P' OB AP 1 AP B’P'~OA' BP~ A' BP’ így P akkor és csakis akkor lesz a vizsgált mértani hely O-tól különböző pontja, ha A'P' · B'P', vagyis P' az A'B' szakasz­t felező merőlegesen van,­­ nem mehet át 0-n, hiszen ekkor OA' = OB' volna, és ebből OA = OB következne, ami OA = WB és miatt nem lehet. Eszerint a vizsgált mértani helyhez 0-n kívül­i pontjainak inverzei tartoznak. Ezek az inverz pontok egy 0-n át­menő­­ kör 0-tól különböző pontjai. A vizsgált mértani hely tehát 1­0 kör. A pontversenyen kívül közölt 31. probléma szerint, ha adott egy kör (vagy egyenes) és két pont, melyek az adott körre (vagy egyenesre) nézve inverz (vagy tükrös) párok, és az egész alakzatot egy tetszőleges alapkörre invertál­­juk, az adott pontok olyan pontokba mennek át, melyek az adott kör vagy egyenes) inverzére nézve (ami ismét kör vagy egyenes) inverz vagy tükrös párt alkotnak. Eszerint abból, hogy az A', B' pontok a t tengelyre nézve tükrös párt al­kotnak, következik, hogy A és a s, k-ra nézve inverz pontpár, állításunkat ezzel bebizonyítottuk. 2. feladat. Adott a síkban 3 különböző pont: A, B, C. Szerkesszük meg azt a kört, amelyik átmegy 0-n és amelyikre A-t invertálva B-t kapjuk. 3. feladat. Adott a síkban 3 különböző pont: A, B,C. Legyen ha az A-n átmenő, B-1­0-be vivő, kb a B-n átmenő, 0-t A-ba vivő, ke a 0-n átmenő, A-t A-be vivő inverzió alapköve. Mutassuk meg, hogy van két pont, amelyeken e három kör mindegyike átmegy. 4. feladat: Adott a síkban 3 különböző pont: A, B,C. Jellemezzük azokat a köröket, melyekre invertálva az adott pontokat, a kapott A', B', C pon­tokra A'C' , B'C' teljesül. 5. feladat. Adott egy tetszőleges háromszög. Van-e olyan inverzió, mely a háromszög csúcsaihoz egy szabályos háromszög csúcsait rendeli hozzá? II. példa. Legyenek az ABC háromszög oldalai különbözőek, a háromszög belső, ill. külső szögfelezői messék a szemközti oldalt az Alt B1,C1, ill. A2, C2, C2 pontokban, az A1A2, B1B2,C1C2 szakaszok fölé rajzolt Thalész körök jegye- 2

Next