Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok, 1994 (44. évfolyam, 1-9. szám)

1994-01-01 / 1. szám

Fermat Utolsó Tétele* 1993. júniusának utolsó napjaiban egy tudományos szenzációtól voltak hangosak a napilapok világszerte: Andrew Wiles angol matematikus megoldotta a matematika egyik legnevezetesebb problémáját, bizonyítást adva a Fermat-sejtésre. A következő néhány oldalon erről a különös problémáról lesz szó. Mi lehet az a matematikai kérdés, amiről többhasábos cikkek jelennek meg a nagy napilapokban? Nos, a Fermat-sejtés ártatlanul egyszerűnek hangzik: Ha n > 2 egész szám, akkor nincsenek olyan nullától különböző x, n ,z egészek, melyekre xn +yn — zn teljesül. Egyszerű állítás, nem kell sok előismeret a megfogalmazásához. Valósággal csá­bítja az embert, hogy kezdjen el számolgatni, gondolkodni rajta. Hosszú története során sokakat megejtett különös varázsával. Többek számára jelentette azt a meg­határozó élményt, ami a matematikusi pálya választásához vezette őket. Személyes ismerőseim között is van ilyen kolléga. A kérdés eredetét kutatva i.e. 250-ig tekinthetünk vissza. Ezidőtájt született Di­­ophantosz nagyhatású munkája, az Aritmetika, ami — ismereteink szerint — először adott közre valamelyes rendszerbe foglalva számelméleti és algebrai eredményeket, íme egy jellegzetes felvetés a II. Könyvből: osszunk fel egy adott négyzetet két négy­zetre. A probléma, és a Diophantosz által közölt megoldás a következő pontosabb „modern” megfogalmazást sugallja: keressük az x +y a z egyenlet egész megoldá­sait, szokásos nevükön a pitagoraszi számhármasokat. Nem nehéz meghatározni az összes ilyen hármast. Az általánosság különösebb sérelme nélkül szorítkozhatunk arra az esetre, amikor mindhárom szám pozitív, se­melyik kettőnek nincs közös prímosztója, és x páros (nevezzük ezeket primitív hár­ 1 1­masoknak). Ekkor az — = ~(z + y) ■ -(z + y) összefüggést használva kapjuk, hogy -(z + y) és -(z + y) egészek, sőt négyzetszámok: 1­9­1­2 ~(z + y) = u , -(z-y) = v . A gondolatmenetet folytatva könnyen adódik, hogy a primitív hármasok mind meg­kaphatók 2­2­2­2 x = 2 uv, y — u —v, z = u +v alakban, ahol и > v pozitív, relatív prím egészek, és az egyikük páros. * Köszönetet mondok Bródy Ferencnek, Ivanyos Gábornak és Szabó Rékának a kézirattal kapcsolatos értékes észrevételeikért.

Next