A MTA MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI TUDOMÁNYOK OSZTÁLYÁNAK KÖZLEMÉNYEI 15. KÖTET (1965)
15. kötet / 1. sz. - HOSSZÚ MIKLÓS: Algebrai rendszereken értelmezett függvényegyenletek, III. Csoportok izotópjai
HOSSZÚ M. = x2*y4,x3*y1 Egyéb függvényegyenletek csoportművelettel izotóp megoldásait keresve S. K. STEIN [17] vetette fel teljes általánosságban a csoport-izotópok jellemzésének kérdését. RADÓ FERENCŐ1 függetlenül megtalálta az x2 › X %y3 — = X4*y2 =‹x3*y3 = *4*y4 REIDEMEISTER-ábra záródási feltétel jellemzést (2. ábra). Megfigyelhetjük, hogy a (2) összefüggést elég csak bizonyos rögzített x1,a,y1b esetén megkövetelni. Közben : ACZÉL JÁNOS [1] felismerte, hogy a hálózatgeometriában ismert záródási feltételek minden folytonossági megszorítás nélkül is egyenértékűek azzal, hogy a tekintett kvázicsoport bizonyos grupoid (csoport, ABEL-csoport stb.) izotópja, s így lehetőség nyílik a hálózatok axiomatikus alapon történő bevezetésére és osztályozására. TÉTEL: Ahhoz, hogy egy Qf kvázicsoport egy Q° csoport izotópja legyen, szükséges és elegendő, hogy az = X*(A1*RZ), = (x%rA2)^Z egyenlettel értelmezett Zjifoy.z) = {-1x*[(x*y)*z]}*z-1, A2(x,y,z) = -^^[xítKy^zjl^z-1} asszociátor műveletek között, az A3[u, A2(U, S, a), p] = A^b, A2(b, s, a), p] összefüggés fennálljon tetszőleges u, s,v£Q és valamely rögzített a,b£Q esetén. Bizonyítás: Tekintsük a Q* kvázicsoport (x^a)o{b^y) ( x^y, illetve az (3) x*y . Csoportok izotópjainak jellemzésével foglalkozott A. FRIGERIO [8] is (idézve [6] alapján). Itt a következő jellemzést adjuk : (2) 2. ábra 2 Az X * y -1 és 'x * y inverz műveleteket az (x*y 1)*y , x, x * ( - lx * y) — y összefüggések alapján értelmezzük. 3 A kvázicsoportok elméletében megszokott módon áttérünk egy egységelemes főizotópra. Nyilvánvaló haszonnal jár az, ha egységelem létezése biztosítva van.