Matematikai Lapok, 1965 (16. évfolyam, 1-4. szám)
1965-11-01 / 1-2. szám
3 Ez nem lehet másként, csak ha a g(x) konstans. Ugyanis egy legfeljebb ne 1 -edfokú polinom, ha nem konstans, nem veheti fel a különböző helyen ugyanazt az értéket. Az I. Tétel bizonyítása n = 5 esetben. Ez esetben G(x) = Q(x) IJ (x-ak)±\ = g(x)h(x), k= 1 Grad Q(x)p 4, itt is legyen a g(x) egyik legkisebb fokú tényezője G(.v)-nek, így Gradg(.v)s4. A (2) szerint (fl5-ös)l(f(«5)-?(pi)) (5) («s — f (s(o5) — «’(«г) továbbá (a4-al)\(g(a4)-g(a1) (5) -ből következik (6) g(a) =g(a2) =g(aA) =g(a5) Most két esetet különböztetünk meg: A( 0~Grad g(x) s 4 nem lehet, mert egy 4-nél kisebb fokú polinom nem veheti fel négyszer ugyanazt az értéket. B) Legyen a Grad g(x) = 4. A g(y) polinom főegyütthatója 1, és a (6) szerint a g(x) az a1, a2, a4, a5 helyeken veszi fel az e = 1 vagy a 1 egységet. Az e az általánosság megszorítása nélkül 1-nek vehető. A g(x) polinom így írható: (7) g(x) = (x-a t)(x- a 2) (x - aA) (x - as) +1 g(a3) szintén = ±1, ezért (a3 - as (a3 - a2) (a3 - aA) (a3 - a5) =±1-1 A bal oldal abszolút értéke nem kisebb |a3 — est |a3 — a5-nél, azaz 4-nél, a jobb oldalé viszont legfeljebb 2. Ez ellentmondás. A g(x) polinom =1 konstanssal, G(x) ez esetben is irreducibilis. А II. Tétel bizonyítása: Az I. Tétel szerint a G(x) = Q(x) Ц (x-ak)±l fc=l legfeljebb csak akkor bomolhat fel két nem konstans polinom szorzatára, ha /^4. Keressük a lehetséges felbontásokat, ez esetben: 1*