II. kerületi kir. egyetemi katolikus főgimnázium és Ferencz József nevelő intézet, Budapest, 1873
A kör központi vetületei. *) I. A központi vetület fogalma: 1. Ha valamely egyenes vagy görbe vonal minden egyes pontját a térnek egy meghatározott pontjával egyenes vonalak által összekapcsoljuk, ez összekötő sugarak sík- illetőleg kúplapot alkotnak, melynek a ma kijelölt pont csúcspontail és az adott vonal vezérvonalul szolgál. Már ha ezen egyenes vagy görbe lapot valamely síklappal átszeljük, metszetül egy második vonalat találunk, mely az előbbivel azon sajátszerű viszonyban van, hogy mindegyik pontjának az eredeti vonal egy-egy meghatározott pontja felel meg, amely vele ugyanabba a sugárba esik. Ezen új vonalat, mely tulajdonkép az előbbinek a csúcspontból a metsző síkra vetett képét ábrázolja, az eredeti vonal központi vetületének (projectio centralis) nevezik. Az állandó pontot, honnan a vető sugarak kiágaznak, a vetés középpontjának (szempontnak), a metsző síkot, mely a vetületet magában foglalja, vetületi síkalak vagy alapsíknak nevezzük. Az elemi mértanban előforduló egyenkezű vetület csak egyik neme a központinak. Azon esetre t. i. ha a vetés középpontját végtelen távol esőnek gondoljuk, a vető sugarak párhuzamosakká válnak és a metsző síkon párhuzamos vetületi képet szolgáltatnak. A párhuzamos vetület lehet ferde- vagy derékszögű, a szerint a mint a vető sugarak ferde vagy derékszögben érik az alapsíkot. 2. Az egyenes vonal központi vetülete szükségkép egyenes vonal, mert a középponton és az adott egyenes vonalon keresztül fektetett síklap az összes vető sugarakat magában foglalja; az alapsík tehát a vető lapot csak egyenes vonalban szegheti. Azon esetre, ha a középpont az adott egyenes vonalba esik, ennek vetülete egy pontba szorul. Az egyenes vonalba eső pontoknak központi vetületei ugyan olyan vonalba esnek, és az azon egy ponton átmenő egyenes vonalak vetületei hasonlóképen egy közös pontban t. i. az előbbinek vetületében találkoznak. A görbevonal központi vetülete rendszerint görbe, de egyenessé válik azon esetben, ha a vetés középpontja az adott vonal síkjába kerül; mértékkor a vető sugarak is ugyan a síkba tartoznak, az alapsík metszete tehát csak egyenes vonal lehet. Különben a görbe vonatnak vetülete mindig ugyanabba a rendbe és osztályba tartozik, amelyikbe az eredeti vonal. Mert a görbe vonal rendje attól függ, hány pontban metszheti azt egy egyenes vonal; a metsző pontok száma egyszersmind a görbe vonal rendszáma is. Már ha az adott görbe vonalat valamely átmetsző egyenes a, b, c, . . . pontokban szeli, akkor a görbének vetületét az átmetszőnek vetülete ugyanannyi, az előbbinek megfelelő á, b', c', . . . pontokban metszi. E szerint a másodrendű görbe vonalnak pl. a körnek központi vetülete is másodrendű, sat. Szintúgy az adott görbe vonal mindenik érintőjének vetülete az ugyanazon síklapra vetett görbét is szükségkép érinti. Mert ha az adott görbe vonal két szomszédos pontját a, m, a-t és b-t egyenes vonallal összekötjük, ennek vetülete csak ab' vagyis azon egyenes vonal lehet, mely a megfelelő a és b' pontokat összekapcsolja. De ha az a és b pontok egybe forrnak, a megfelelő á és b' pontok is együvé esnek és áb' a vetületi görbének érintőjévé válik, valamint áb az eredeti görbe vonal érintőjét ábrázolja. E szerint valamely görbe vonal vetületéhez egy külső pontból annyi érintőt húzhatni, ahányat az eredeti görbéhez. Más szóval a görbe vonal vetülete ugyanabba az osztályba tartozik, ahová az eredeti. Például a körvonal központi vetületei másodosztályú görbék, mivel a körhöz egy külső pontból két érintőt húzhatunk. Ha az adott vonal az alapsíkkal párhuzamos, a vetületével is párhuzamos. De ekkor a két vonal egyszersmind hasonló is, azaz megfelelő szeleteik egyenlő arányúak. Ez nem csak egyenes, hanem görbe vona l) Mutatvány a szerzőnek hasonczimű dolgozatából.