Hidrológiai Közlöny 2012 (92. évfolyam)

3. szám - Szigyártó Zoltán: Folytonos eloszlások új illeszkedés-vizsgálata – A Fisher–Szigyártó próba továbbfejlesztése

Folytonos eloszlások új illeszkedés-vizsgálata­­A Fisher-Szigyártó próba továbbfejlesztése Szigyártó Zoltán 1118. Budapest, Somlói út 30/B Előzmények és a tanulmány célja Azzal, hogy a 2005. évi vizsgálataink során bebizonyítot­tuk, hogy — legalábbis a Tisza völgyében — az évi legna­gyobb jégmentes vízállások eloszlása az időben változik (Szigyártó—Bénik-Szlávik Bálint 2005), új helyzet állt elő, így a valószínűségek meghatározása érdekében végzett szá­mításoknak célszerű alkalmazkodniuk a feltárt tényekhez. Tehát ahhoz, hogy (Szigyártó-Bénik 2003) - az eloszlás középértéke időnként ugrásszerűen megvál­tozik, míg­­ a középértékek körüli szórás a minta származási helyé­től (a vízmérce-állomás szelvényétől) függő, időben állandó érték (tehát független a középérték nagyságától), továbbá­­ egy-egy állandó középértékkel jellemezhető időszakon belül az eloszlás továbbra is normális eloszlással jellemez­hető. Szerencsére az eloszlás paramétereinek ilyen vagy hason­ló jellegű szakaszos változása igen sok más gyakorlati eset­ben is előfordul, s a valószínűségelmélet az ilyen sajátossá­gokkal rendelkező valószínűségi változók eloszlásának a ke­zelésére vezette be a keverékeloszlásokat (Rényi 1954, 239. o.). E szerint az évi legnagyobb jégmentes vízállások elosz­lása, mint azt bebizonyítottuk (Szigyártó-Bénik 2003), szá­mítható az Ek(x) = ^i(x'mi'(1) (1) i=I összefüggéssel, amelyben Fk(x) a keverékeloszlás eloszlásfüggvényét, F,­x,mi,s) az m, középértékű és s szórású i-ik rész-időszak eloszlásfüggvényét, p,az F,­x,mj,s) eloszlásfüggvény súlyát jelöli, amely utób­bi esetünkben számítható a hányadosból, ahol (az adott esetben) Ti­z'-edik a rész-időszak hossza, vagyis éveinek a száma (az 1-edik minta elemszáma),­­az egész minta hossza, vagyis éveinek a száma (a minta elemszáma). Ennek az eljárásnak tehát alapvető sajátossága, hogy a számítások alapját képező minta szakaszosan nem azonos eloszlásból származik, s így nem egyöntetű. Következés­képpen ilyen esetben a minta egyes elemei sem lehetnek egymástól függetlenek, hiszen a középérték megváltozását követően a valószínűségi változó (a változás irányától füg­gően) egy alacsonyabb vagy magasabb középérték körül in­gadozik. Ha viszont a mintára sem az egyöntetűség, sem pedig an­nak elemeire a teljes függetlenség nem teljesül, úgy nincs mód a vízimérnökök körében Kolmogorov próbaként ismert (­Csoma-Szigyártó 1975, 58. o.) illeszkedés-vizsgálat elvég­zésére. Tehát nincs lehetőség annak a gyakorlat szempontjá­ból is fontos kérdésnek az eldöntésére, hogy az empirikus eloszlásfü­ggvény milyen módon illeszkedik az (1) és (2) ösz­szefü­ggéssel meghatározható eloszlásfüggvényre. Keverék­eloszlások esetében az illeszkedés mértékének a kiszámítá­sához tehát új eljárásra van szükség. Ez pedig (egy lehetsé­ges megoldásként) kiindulhat az azonos középértékkel ren­delkező rész­időszakok illeszkedésére elvégzett vizsgálatok eredményiből is. Ha viszont ezt a célt tűzzük ki, újabb gondot okoz az, hogy a középértékek változását felderítő sorozatos statiszti­kai hipotézis vizsgálat (Szigyártó-Várnainé 1981) eredmé­nyeként olyan rész-szakaszokat is kaphatunk, amelyek e­lemszáma igen gyakran a nagy minták alsó határának te­kinthető­­n 30 alatt marad, így pedig (a kis elemszám miatt) a teljes minta egyes rész-szakaszaira az illeszkedés-vizsgá­latot a már említett Kolmagorov próbával csak igen ritkán lehet elvégezni. Abban az esetben tehát, ha a keverékelosz­lás illeszkedés-vizsgálatát a keveréket alkotó minták illesz­kedés-vizsgálatára kívánjuk alapozni, e célra egy olyan il­leszkedés-vizsgálatra van szükség, amely a minta elemszá­mától függetlenül, bármekkora minta esetén szabatosan el­végezhető. Ugyanekkor ismeretes, hogy a Fisher által az exponenciá­lis eloszlásokból származó minták illeszkedésének a vizsgá­latára kifejlesztett eljárás (Gnyegyenko-Baljajev-Szolovjev 1965, 268. o.) éppen ilyen célból készült. Bár kétségtelen az, hogy a Fisher által levezetett eloszlásfüggvény illeszke­dés-vizsgálatra történő felhasználása úgy, ahogyan azt a szerző javasolta, helyes eredményt nem adhat. Az eljárás­nak ez a hibája azonban viszonylag könnyen kiküszöbölhe­tő. Ugyanakkor pedig, ha ehhez kapcsolódva a módszert megfelelően továbbfejlesztjük, az bármely folytonos elosz­lás szabatos illeszkedés-vizsgálatára alkalmassá tehető (Szi­gyártó 1980). Ma már azonban látjuk, hogy ezzel a továbbfejlesztett változattal szemben is több kifogás merülhet fel. Ugyanis baj van vele három okból is: Egyrészt azért, mert egy fontos képletébe sajtóhiba került. Másrészt azért, mert a kifejlesz­tett módszer nem számolt azzal, hogy az eljárás alapjául szolgáló eloszlás nem csak korlátos, hanem aszimmetrikus is. Végül azért, mert (mint utólag megállapítható) a tanul­mány szövege inkább matematikusok, mint vízimérnökök számára íródott. Ez pedig az addig elért eredmények széle­sebb körű gyakorlati alkalmazását megnehezítette annak el­lenére, hogy ennek lehetővé tételére egy kísérlet azért tör­tént (Kontur-Karis-Winter 1993). Mindezeket végig­gondolva bizonyára belátható, hogy a korábban közölt eljárás (Szigyártó 1980) továbbfejlesztésé­re ma már igencsak szükség van. Emellett azonban nyilván szükség van arra is, hogy ennek a továbbfejlesztett új eljá­rásnak az ismertetése — a gyakorlati szakemberek igényét szem előtt tartva­­— egységes keretben készüljön. Ezért lát­szott tehát célravezetőnek az, hogy­­az előzőekben felsorolt elméleti vonatkozású hiányosságok kiküszöbölését követő­en) az eredményeket ismertető anyag minden részlete egy tanulmányban legyen összefoglalva, még akkor is, ha ennek egyes részei a korábbi vizsgálatok eredményét közlő tanul­mányban is megtalálhatók (Szigyártó 1980). Fisher eljárása az exponenciális eloszlások illeszkedés­vizsgálatára Fisher eredménye szerint (Gnyegyenko-Baljajev-Szolov­jev 1965, 268. o.) bármely

Next