Középiskolai Matematikai Lapok 43. (1971, 6-10. szám)
1971-09-01 / 6. szám
A XIII. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia A versenyt a Szlovák Szocialista Köztársaság rendezte július 10 és 21 között Zsolnán 15 ország (Anglia, Ausztria, Bulgária, Csehszlovákia, Franciaország, Hollandia, Jugoszlávia, Kuba, Lengyelország, Magyarország, Mongólia, Német Demokratikus Köztársaság, Románia, Svédország, Szovjetunió) 115 versenyzőjének részvételével. Svédországot 7, Kubát 4, a többi országot 8—8 tagú csapatok képviselték. A két dolgozatot július 13-án és 14-én írták. A dolgozatok hagyományosan 3 feladatot tartalmaztak. Megoldásukra 4—4 órát fordíthattak a versenyzők. A feladatok a következők voltak: Első nap. 1. Bizonyítsuk be, hogy a következő állítás n = 3 és n = 5 esetén igaz, minden más 2-nél nagyobb egész szám esetében pedig hamis: „Bármely av a2, ..., an valós számokra teljesül az (ol-aj,«!-».,). ... •(a1-an) + (at-a1)-(a2-a3)- ... ■ (a2-an)+ ... + + (an-a1).(an-at)- ... • (a„-a„_i)s0 egyenlőtlenség. ” 2. Adott egy 9-csúcsú konvex poliéder: Pi; csúcspontjai legyenek Av A2, ..., At. Jelöljük P,-vel azt a poliédert, amelyet Pj-ből az Ax-*Ai eltolással kapunk (i = 2, 3, ..., 9). Bizonyítsuk be, hogy a P1( P2, ..., P9 poliéderek közül legalább kettőnek van közös belső pontja! 3. Bizonyítsuk be, hogy a {2n —3}, (n = 2, 3, 4, . ..) sorozat tartalmaz olyan végtelen részsorozatot, amelynek bármely két eleme relatív prím! Második nap: 4. Az ABCD tetraéder minden lapja hegyesszögű háromszög. Legyen X, Y, Z, T rendre az AB, BC, CD, ill. DA és egy-egy belső pontja, és tekintsük az összes XYZTX zárt törött vonalat. Bizonyítsuk be, hogy ■a) ha DAB›$ + BCD BC › +CDA ›1, akkor az XYZTX törött vonalak között nincs legrövidebb; b) ha DAB ›1 + BCD ›1 = ABC›1 + CDA ›, akkor az XYZTX törött vonalak között végtelen sok legrövidebb van; ezek mindegyike 2 • AC ■ sin — hosszúságú, ahol 2 ‰x. = ВАС ›1 +DAD‰$ +DAB›Z. 5. Bizonyítsuk be, hogy bármilyen természetes számot jelent is, mindig van a síkban olyan véges és nem üres S ponthalmaz, amely a következő tulajdonsága: Ha A az 8 halmaz valamely tetszőleges pontja, akkor S-ben pontosan n számú olyan pont van, amely A-tól egységnyi távolságra esik. 6. Az n sorból és n oszlopból álló «11 «12 «12 «a «22 • • «211 »*ni amann négyzetes táblázat elemei nem-negatív egész számok. Ha a táblázat valamely eleme: a/y = 0, akkor erre az г-ге és j-re érvényes az 1