Középiskolai Matematikai Lapok 43. (1971, 6-10. szám)

1971-09-01 / 6. szám

A XIII. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia A versenyt a Szlovák Szocialista Köztársaság rendezte július 10 és 21 között Zsolnán 15 ország (Anglia, Ausztria, Bulgária, Csehszlovákia, Francia­­ország, Hollandia, Jugoszlávia, Kuba, Lengyelország, Magyarország, Mon­gólia, Német Demokratikus Köztársaság, Románia, Svédország, Szovjetunió) 115 versenyzőjének részvételével. Svédországot 7, Kubát 4, a többi országot 8—8 tagú csapatok képviselték. A két dolgozatot július 13-án és 14-én írták. A dolgozatok hagyományosan 3 feladatot tartalmaztak. Megoldásukra 4—4 órát fordíthattak a versenyzők. A feladatok a következők voltak: Első nap. 1. Bizonyítsuk be, hogy a következő állítás n = 3 és n = 5 esetén igaz, minden más 2-nél nagyobb egész szám esetében pedig hamis: „Bármely av a2, ..., an valós számokra teljesül az (ol-aj,«!-».,). ... •(a1-an) + (at-a1)-(a2-a3)- ... ■ (a2-an)+ ... + + (an-a1).(an-at)- ... • (a„-a„_i)s0 egyenlőtlenség. ” 2. Adott egy 9-csúcsú konvex poliéder: Pi; csúcspontjai legyenek Av A2, ..., At. Jelöljük P,-vel azt a poliédert, amelyet Pj-ből az Ax-*Ai eltolással kapunk (i = 2, 3, ..., 9). Bizonyítsuk be, hogy a P1( P2, ..., P9 poliéderek közül legalább kettőnek van közös belső pontja! 3. Bizonyítsuk be, hogy a {2n —3}, (n = 2, 3, 4, . ..) sorozat tartalmaz olyan vég­telen részsorozatot, amelynek bármely két eleme relatív prím! Második nap: 4. Az ABCD tetraéder minden lapja hegyesszögű háromszög. Legyen X, Y, Z, T rendre az AB, BC, CD, ill. DA és egy-egy belső pontja, és tekintsük az összes XYZTX zárt törött vonalat. Bizonyítsuk be, hogy ■a) ha DAB›$ +­ BCD BC › +CDA ›1, akkor az XYZTX törött vonalak között nincs legrövidebb; b) ha DAB ›1 + BCD ›1 = ABC›1 + CDA ›, akkor az XYZTX törött vonalak között végtelen sok legrövidebb van; ezek mindegyike 2 • AC ■ sin — hosszúságú, ahol 2 ‰x. = ВАС ›1 +DAD‰$ +DAB›Z. 5. Bizonyítsuk be, hogy bármilyen természetes számot jelent is­­, mindig van a síkban olyan véges és nem üres S ponthalmaz, amely a következő tulajdonsága: Ha A az 8 halmaz valamely tetszőleges pontja, akkor S-ben pontosan n számú olyan pont van, amely A-tól egységnyi távolságra esik. 6. Az n sorból és n oszlopból álló «11 «12 «12 «a «22 • • «211 »*ni am­ann négyzetes táblázat elemei nem-negatív egész számok. Ha a táblázat valamely eleme: a/y = 0, akkor erre az г-ге és j-re érvényes az 1

Next