Középiskolai Matematikai Lapok 44. (1972, 1-5. szám)
1972-01-01 / 1. szám
m{\ — 12) — (l — m^2) —m— 1, és ez m_l esetén negatív, P az első aszimptota alatt van. S mivel a második aszimptotának mindenesetre fölötte van — a hasonló különbség (2')-ből m +10 0, azért ekkor az a tengely a hiperbolának képzetes tengelye (lásd a). Az ra- 1 esetben viszont pozitív a fenti különbség, P mindkét aszimptotának fölötte van, az a tengely a valós tengely szerepét kapja (lásd ß), így a hiperbola egyenlete és a értékét abból kapjuk, hogy P koordinátái kielégítik az egyenletet: ha 1, ha 1, | 1 — m2, a =\ 1 , 2 [ — 1 + mz. Ezek szerint az egyenlet a két esetben közösen: (3) x2 —(1/ + m^2)2= 1 —m2. 2. Az A7-be beírt kör egyenlete nyilvánvalóan (4) x2 + y2=1. 3. Két görbére akkor mondjuk, hogy érintik egymást, ha van közös pontjuk és abban közös az érintőjük. Esetünkben a közös pont koordinátáit a (3), (4) egyenletrendszer valós megoldásai adják. (4)-ből (3)-at kivonva, majd 0-ra redukálva (5) 2г/2 + 2/2m y + m2=2 =0, eszerint közös pontjuk ordinátája csak lehet, és ehhez (3) és (4) bármelyikéből ami csak akkor valós, ha m2 ^ 2. A hiperbolának és a körnek tehát két közös pontja van: T1(xv yt) és T2( x x1, гд), ha 0(m(/2) dem^1, továbbá egyetlen közös pontjuk λ(0, —1), ha mife. Vegyük észre, hogy yx fele Y a középpont ordinátájának, eszerint a közös pontok (ill. pont) az OK szakasz felező merőlegesen vannak. A közös pontbeli érintők helyett a normálisokról mutatjuk meg, hogy azonosak, aminek feltétele az iránytényezők egyenlősége. Könnyű belátni a már idézett összefüggések alapján, hogy ha a hiperbola középpontja (p, v) , ,, x2 (y + m]12)2 m 1 eseten —---------5-----= 1 alakú, , x2 (y+mVh)2 _ . , , eseten — ^ + ———------=1 alakú, m 2