Középiskolai Matematikai Lapok, 1989 (39. évfolyam, 1-10. szám)

1989-01-01 / 1. szám

Néhány bűvös négyzet a XX. századból Bizonyára sokan ismerik az 1—25 számokból álló bűvös négyzet gyors felírására alkalmas sziámi szabályt (másképpen kí­nai vagy indus szabályt), Délkelet-Ázsia matematikusainak még az időszámításunk előtti időkben talált tetszetős eredményét. Mai szemmel az tartható benne bűvösnek — kifejezőbben: rejtélyesnek —, hogy felismerhető számtani művelet végzése nélkül olyanra sikerül az elrendezés, hogy minden sor, oszlop, átló összege ugyanannyi, az 1+2+...+25+325 összeg 1/5 része, 65. Ez a négyzet bűvös állandója. — Meg is adjuk az árát ennek az igazi munka nélkül elért sikernek! Az elrendezést az 1. ábrán idézem, bár — őszintén szólva, személy szerint — mindig görbe szemmel nézek rá. Ennek a „potya” receptnek a létezése kisiklatja a probléma helyes értékelését, bénítja a fejlődést. Egészségtelen kultusz is épült rá (ritmus stb.). Miatta passzív a kérdéssel szemben a közfelfogás. Olyan egyedülvalónak, utánozhatatlannak vélik sokan, mint a Kínai Nagy Fal vagy a Szaturnusz gyűrűje. Pedig félmilliónál is több megoldást lehetne fölírni az 5 X 5-ös problémára néhány na­gyobb elv és sok kisebb fogás vegyes alkalmazásával! — Kivé­tel is és jellemző is az az eset, hogy pár éve valaki a Bolyai Tár­sulattól arról kért tájékoztatást, hogyan kaphatna szabadalmat „találmányára”, egy más, 5 X 5-ös elrendezésre. Csak néhány to­vábbi példány láttán húzta elő az illető a zsebéből „titkát”, ami azután rendszeres gondolkodásról tett bizonyságot. Rejtélyek nélkül. Nagyobbítással a sziámi szabály révén minden páratlan n rendszámhoz föl­írható egy bűvös négyzet az 1, 2, 3, ..., n2 számokból, a páros rendszámokra viszont nincs ilyen egyszerű recept a „nagy bűvös szakácskönyvben”. A párosokhoz újabb elvek alkalmazásával szerkesztettek bűvös négyzeteket. (Természetesen a régi „regu­lák” eredményeit is meg lehet magyarázni, miért bűvösek.) Így alakult ki a bűvös négyzet-problémának egy „nehézség szerinti” osztályozása: legkönnyebb a páratla­nok esete, a párosok közül könnyebbek az n~Ak alakú rendszámok, végül legnehezebb az n—Ak-1-2 alakú („egyszerűen páros”) rend­számok esete, aminek legkisebb képviselője a 6-os. Bár valami van eb­ben, mégis elég sekély szempont ez, hiszen mindenki azt tartja könnyű­nek, amit már tud — és megfordítva.­­ Egyébként 300 éve múlt már, hogy Frénicle de Bessy francia kutató összeállította a 4x4-es megoldás 2. ábra sok teljes atlaszát, 880 elrendezést, a szimmetrikus állásokat csak egyszer számítva. Pontos létszám csak erre, és az n 1 3 esetre ismeretes; ez utóbbira ez a szám 1 (2. ábra), és ez — a négyzet geometriai szimmetriáinak megfelelően — 8 állásban szemlélhető, tükrözések és forgatások nyomán. 1. ábra 8 1 6 3 5 7 4 9 2 1

Next