Középiskolai Matematikai Lapok, 1990 (40. évfolyam, 1-10. szám)
1990-01-01 / 1. szám
A számjegyátlagok sorozata Ebben a cikkben egy olyan — rendhagyónak nevezhető — függvénnyel foglalkozunk, amelyet számjegyek átlagának segítségével értelmezünk. Az egyszerűség kedvéért a számokat nem tizedes, hanem kettedes (diadikus) tört alakban kezeljük. A 10-es alaphoz hasonlóan itt is igaz, hogy minden valós x szám felírható x = ±ßkßk-1...ß1ß0,a1a2cc3... kettedestört alakban, ahol a ph a. számjegyek értéke 0 vagy 1 lehet. Ez a felírás egyértelművé tehető azzal, ha megtiltjuk, hogy a kettedes jegyek valahonnan kezdve csupa 1-esek legyenek, azaz pkpk-i-po, a1a2...a,ill... helyett mindig a pkpk-i-t), a1a2...a( + ^r eredményeként adódó „véges” alakot használjuk. Könnyen értelmezhetjük egy 0 és 1 közé eső diadikus tört első n jegyének átlagát: legyen 1 * x = 0, a1a2...a„-re Sn(x) = — 2*/• n i=i A g függvény minden ilyen x helyen vegye fel a g(x) = lim S„(x)-*-оо értéket, amennyiben ez a határérték létezik. Ezzel a g függvényt a [0, 1] intervallum valamely részhalmazán értelmezzük. (Látható, hogy 0s5„(x)sl, így 0^g(x)^ 1.) Elsőként azt vizsgáljuk meg, van-e olyan szám, melyre g(y)=y, vagyis Λ megegyezik saját számjegyeinek az átlagával. Ezután g értelmezési tartományának a „nagyságát” határozzuk meg, majd igazoljuk, hogy g értéke „majdnem mindig” —. 1. Legyen 0^a^b^]. Tegyük fel, hogy az f függvény folytonos az [a, b] intervallumon, és itt minden x-re 0 щf(x) s 1. Megmutatjuk, hogy ekkor létezik olyan α ([a, y]-ben), melyre f(y)=g(y). (Speciálisan az f(x)=x függvényre kapjuk, hogy alkalmas y-ra g(y)=y teljesül.) Előállítjuk a kívánt tulajdonságú α számot. Mivel b—a pozitív, ezért alkalmas 1 ^ 1 1 1 n természetes számra 2—b—a. A 0, —, 2 • —, 3 • —, ... számsorozatnak 1