Középiskolai Matematikai Lapok, 1991 (41. évfolyam, 1-10. szám)

1991-01-01 / 1. szám

A megfeleltetést még rövidebben úgy is jellemezhetjük, hogy az egész számokat egy sorozatba „rendezzük” és az egész számnak megfeleltetett természetes számot a sorozatban elfoglalt helye jelenti: 0,-1,1,-2,2,-3,3, ...,-n,n,... A természetes számok N halmazával ekvivalens végtelen halmazokat megszám­­lálhatóan végtelennek nevezzük és számosságuk jelölésére Cantor vezette be az jelölést („alef ” a héber ábécé első betűje). Könnyen látható, hogy minden megszámlálhatóan végtelen halmaz sorozatba rendezhető, és megfordítva, minden olyan végtelen halmaz, amelynek elemei soro­zatba rendezhetők, megszámlálhatóan végtelen. Megmutatjuk, hogy a racionális számok Q halmaza is sorozatba rendezhető. Vegyük először az egynél kisebb pozitív racionális számok halmazát: Qi = {r G Q | 0 ~ r ~ 1}. A Qi elemeit a következő módon rendezzük sorozatba: első helyre az egyet­len 2 nevezőjű törtet, az 1-et írjuk, azután sorra vesszük nagyság szerint a 3 ne­vezőjűeket, majd a 4,5, ...,n,... nevezőjű törtek következnek egymás közt nagyság szerint rendezve. Mivel bármely n-hez az n nevezőjű törtek közül csak véges sok van 0 és 1 között, így sorozatot kapunk, amely Q1 minden elemét legalább egyszer tartalmazza: 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 2’3’3’4’4’4’5’5,5’5’ Ezután a Q2 } {r G Q | r } 1} halmaz egy sorozatba rendezését úgy kaphatjuk meg, hogy az előző sorozatban minden elem reciprokát vesszük: 2334445555 1* 1’ 2’ 1’ 2* 3’ 1*2’ 3* 4’ "* A két sorozat „fésűs” egyesítésével és az 1-nek a sorozat első tagjaként való beik­tatásával a pozitív racionális számok Q+ halmazának egy sorozatba rendezését kap­juk: 121323142434 1,2’­­ 3’ 1’ 3’ 2’ 4’ 1’ 4’ 2’ 4’ 3’ Világos, hogy ha most az előző sorozatban minden elemnek a­­1-szeresét vesszük, akkor a negatív racionális számok Q- halmazának egy sorozatba rendezését kap­juk. Végül a Q+ és Q- halmazok elemeit tartalmazó sorozatok „fésűs” egyesítését .

Next