Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok, 1993 (43. évfolyam, 1-10. szám)

1993-01-01 / 1. szám

II. Ha a = 3, akkor 6 ^ 5, c · 7 és /l<(1 + 3^l) (1 + 5^t) (, + 7^l) tehát h = 2. Ebben az esetben (1) a következőképpen alakul: 36c - 1 = 4(6 — l)(c — 1). Átrendezve és szorzattá alakítva: 6c — 46 - 4c + 5 = 0; (6 - 4)(c — 4) = 11. Mivel mindkét tényező pozitív, és a második a nagyobb, ez pontosan akkor teljesül, ha 6-4 = 1 és c-4 = ll, vagyis ekkor a = 3, 6=5, c = 15. 2. Jelölje R a valós számok halmazát. Határozzuk meg az összes olyan f: R —► R függvényt, amelyre (1) /(*2 + /(y)) = V + (/CO)2 teljesül R minden x, y elemére. Megoldás. Ha f(x) = x minden x valós számra, akkor (1) nyilván teljesül. Be fogjuk bizonyítani, hogy ez az egyetlen megoldás. Először megmutatjuk, hogy / bijektív, azaz minden valós számot pontosan egy­szer vesz fel. Ha c tetszőleges valós szám, akkor (1)-be y = (c - (/(z))2)-et írva lát­juk, hogy / felveszi a c értéket. Azt kell még igazolnunk, hogy különböző számokhoz különböző értéket rendel. Legyen 1/1 és 3/2 két különböző szám és x tetszőleges. Az (1) azonosság alapján /(z2 + /(y1)) = 3/1 + (/(z))2 és f(x2 + /(t/2)) = Y2 + (/(*))2­ Ha f(y 1) = /(t/2) lenne, akkor a bal oldalon mindkét egyenletben ugyanaz a szám állna. Ez viszont ellentmond annak, hogy a jobb oldalak különbözőek. Tehát f(y\) fi fi f(y2), a függvény valóban bijektív. Másodszor bebizonyítjuk, hogy a függvény páratlan, azaz minden x valós számra f{-x) = -/(­i ), speciálisan /(0) = 0. Legyen x fi 0, y pedig tetszőleges. írjuk fel az (1) azonosságot az x, y és a -x, y számpárokra: f(x2 + f{y)) = y + (f(x))2, /(z2 + /(!/)) = a/ + (/(-*))2-Mivel a bal oldalak megegyeznek, (/(z))2 = (/(-z))2, amiből |/(z)| = |/(—*)|; más­részt / bijektív volta miatt f{x)fif(-x). Ezekből pedig az következik, hogy f(-x) = -f(-x) fi 0. Látjuk, hogy­­ a 0-t a 0-n kívül máshol nem veheti fel, ezért /(0) csak 0 lehet, / tehát tényleg páratlan. Most írjunk (l)-ben x helyére 0-t; azt kapjuk, hogy tetszőleges y-ra /(/(y)) =­y. 35 161 3, 2

Next