Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok, 1996 (46. évfolyam, 1-9. szám)
1996-01-01 / 1. szám
Ló és lovasa, avagy a párbaállítás módszere „Néha számlálás nélkül is meg tudjuk állapítani, hogy két véges halmaznak ugyanannyi eleme van-e. Pl. egy olyan gyerek, aki csak 20-ig tud számlálni, meg tudja állapítani, hogy az ablak alatt ugyanannyi katona haladt el, mint ahány ló, ha látja, hogy egy katona sem ment gyalog, és egy ló sem ment anélkül, hogy katona ne ülne a hátán (és természetesen egy lovon sem ült egynél több katona, és egy katona sem ült egynél több lovon), akkor is, ha a katonák, ill. lovak száma több, mint 20.”12 A megszámlálásnak azt a módját, amikor a lovakat kell megszámolni, és tudom, hogy ugyanannyi lovas van, mint ahány ló, s ezért a lovasokat számolom meg, jól mutatja Halmos Pál következő példája. 1. feladat. Tekintsünk egy 1025 teniszjátékosból álló társaságot. Képzeljük el, hogy a társaság bajnokságot szervez a következő rendszer szerint. A játékosokat párokba sorolják, egy embernek természetesen nem jut pár. Az egyes párok mérkőznek, a vesztesek kiesnek. A második fordulóban a győztesek vehetnek részt, és az első fordulóban pár nélkül maradt játékos. A második forduló párosítását ugyanúgy készítjük el, mint az elsőét, ismét kisorsolnak egy játékost, aki ebből a fordulóból játék nélkül jut tovább. Ezt azután így folytatjuk, amíg mindenki ki nem esik, az utolsó mérkőzés győztese lesz a bajnok. A bajnok tehát nem vert meg mindenkit, de minden játékos kikapott valakitől, ..., aki kikapott a bajnoktól. A kérdés: összesen hány mérkőzésre került sor? A megoldást sok úton kereshetjük, és már a lehető legprimitívebb meggondolás is célhoz vezet. Az első fordulóban 512 mérkőzést játszottak, a másodikban 256-ot, majd 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, 1 mérkőzést. Ezeket összeadva gyorsan megvan az eredmény: 1024. Van olyan megoldás is, amelyhez nincs szükség számolásra, kísérletekre, sőt még számokra sem, csak puszta gondolkodásra. A gondolatmenet: minden mérkőzésnek egy győztese és egy vesztese van. A vesztes nem vehet részt a további fordulókban. Minden játékos, a bajnok kivételével, pontosan egyszer veszít, így ugyanannyi mérkőzés van, ahány vesztes, azaz a mérkőzések száma eggyel kisebb a játékosokénál. Ha a játékosok száma 1025, a megoldás 1024, ha 1000, akkor 999. Nyilvánvaló, hogy ez az egyszerű gondolatmenet a játékosok számától függetlenül, teljes általánosságban szolgálja a feladat megoldását. Ahogyan Halmos hozzáfűzi: „itt csillan fel egy piciny darabja az igazi matematikának”. 1966-ban a TV „Ki miben tudós?” versenyének döntőjében szerepelt a következő feladat: 1 Kalmár László: A matematika alapjai (egyetemi jegyzet), I. kötet, 9. oldal. 2 Halmos Pál: A matematika művészete, Természet Világa, 1976/7, 299-303. oldalak.