Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok, 1996 (46. évfolyam, 1-9. szám)

1996-01-01 / 1. szám

Ló és lovasa, avagy a párbaállítás módszere „Néha számlálás nélkül is meg tudjuk állapítani, hogy két véges halmaznak ugyan­annyi eleme van-e. Pl. egy olyan gyerek, aki csak 20-ig tud számlálni, meg tudja állapí­tani, hogy az ablak alatt ugyanannyi katona haladt el, mint ahány ló, ha látja, hogy egy katona sem ment gyalog, és egy ló sem ment anélkül, hogy katona ne ülne a hátán (és természetesen egy lovon sem ült egynél több katona, és egy katona sem ült egynél több lovon), akkor is, ha a katonák, ill. lovak száma több, mint 20.”1­2 A megszámlálásnak azt a módját, amikor a lovakat kell megszámolni, és tudom, hogy ugyanannyi lovas van, mint ahány ló, s ezért a lovasokat számolom meg, jól mutatja Halmos Pál következő példája. 1. feladat. Tekintsünk egy 1025 teniszjátékosból álló társaságot. Képzeljük el, hogy a társaság bajnokságot szervez a következő rendszer szerint. A játékosokat párokba so­rolják, egy embernek természetesen nem jut pár. Az egyes párok mérkőznek, a vesztesek kiesnek. A második fordulóban a győztesek vehetnek részt, és az első fordulóban pár nélkül maradt játékos. A második forduló párosítását ugyanúgy készítjük el, mint az el­sőét, ismét kisorsolnak egy játékost, aki ebből a fordulóból játék nélkül jut tovább. Ezt azután így folytatjuk, amíg mindenki ki nem esik, az utolsó mérkőzés győztese lesz a bajnok. A bajnok tehát nem vert meg mindenkit, de minden játékos kikapott valakitől, ..., aki kikapott a bajnoktól. A kérdés: összesen hány mérkőzésre került sor? A megoldást sok úton kereshetjük, és már a lehető legprimitívebb meggondolás is célhoz vezet. Az első fordulóban 512 mérkőzést játszottak, a másodikban 256-ot, majd 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, 1 mérkőzést. Ezeket összeadva gyorsan megvan az eredmény: 1024. Van olyan megoldás is, amelyhez nincs szükség számolásra, kísérletekre, sőt még számokra sem, csak puszta gondolkodásra. A gondolatmenet: minden mérkőzésnek egy győztese és egy vesztese van. A vesztes nem vehet részt a további fordulókban. Minden játékos, a bajnok kivételével, pontosan egyszer veszít, így ugyanannyi mérkőzés van, ahány vesztes, azaz a mérkőzések száma eggyel kisebb a játékosokénál. Ha a játékosok száma 1025, a megoldás 1024, ha 1000, akkor 999. Nyilvánvaló, hogy ez az egyszerű gondolatmenet a játékosok számától függetlenül, teljes általánosságban szolgálja a feladat megoldását. Ahogyan Halmos hozzáfűzi: „itt csillan fel egy piciny darabja az igazi matematiká­nak”. 1966-ban a TV „Ki miben tudós?” versenyének döntőjében szerepelt a következő feladat: 1 Kalmár László: A matematika alapjai (egyetemi jegyzet), I. kötet, 9. oldal. 2 Halmos Pál: A matematika művészete, Természet Világa, 1976/7, 299-303. oldalak.

Next