Geodézia és kartográfia 1985 (37. évfolyam, 1-6. szám)
1985 / 5. szám - Soha Gábor: Kétdimenziós, geodéziai transzformációs modell
1. A súlyponti izometrikus koordináta-rendszer Adva van az egyik geodéziai hálózat cp, X, a másik hálózat pedig í, A földrajzi koordinátáival. Térjünk át az alábbi képlettel számítható izometrikus szélességre: y Arth sin cp — e Arth (e sin cp), (1) ahol e a megfelelő ellipszoid első numerikus excentricitása. A másik hálózatnál e képlet nagybetűs változatát használjuk. A számítástechnikai kérdéseket a [9] részletezi. A továbbiakban a kiegyenlítés egyszerűsítése érdekében áttérünk súlyponti koordináta-rendszerre (e kifejezést matematikai értelemben használjuk). Ehhez képezzük mindkét hálózatban az n számú közös pont koordinátáinak számtani középértékét (a szögletes zárójel a továbbiakban összegzést jelent) . (2) Velük a súlypontra vonatkozó koordináták: Af=ip-10, AX = X-X0 AW=W-W0, AA=A—A0 A két súlyponti koordináta-rendszer transzformációs kapcsolataként ugyancsak [ 9] alapján egy másodfokú, konform kétváltozós függvényt értelmezünk : A'JJ=A'P0 + IAy>-IlAX + + III(Av2-AX2) + IV2Ay>AX AA=AA0+IAX + IIAy> + + ni2Ai/>AX — IV(Aip2-AX2), ahol a két nullindex-szel jelölt mennyiség célszerű neve súlypontkorrekció (az első rendszer súlypontjának másodfokúan már nem a másik rendszer súlypontja felel meg), a római számmal jelölt menynyiségek pedig a transzformációs együtthatók. Geodéziai vonalnak geodéziai vonalat feleltetve meg, az idézett mű alapján az együtthatók között a következő kapcsolat áll fenn: III · IV (I2 — II2) sin 0O— I sin cp0 2 II sin cp0 — 2 III sin 0O (5) Tehát (4)-ben tulajdonképpen négy együttható ismeretlen: a két súlypontkorrekció és a két lineáris együttható. E négy adat meghatározásához minimálisan két közöspont kell. 2. Kiegyenlítés a súlyponti koordináta-rendszerben Az együtthatókat a két rendszer közös pontjai alapján a legkisebb négyzetek módszerével határozzuk meg. A (4)-hez tartozó javítási egyenletek elírásában bonyodalmat okoz, hogy a I, II ismeretlenek az (5) miatt négyzeten és vegyesszorzatként is előfordulnak. A szokásos linearizálás, a közelítő érték helyén végzett sorbafejtés, nem ad jól áttekinthető gyors megoldást, ezért egy kissé másképp járunk el. A (4) képlet másodfokú tagjait először elhagyjuk, így I és II előzetes értékét a lineáris Helmert-transzformáció mintájára számítjuk (a végleges értéktől nullindex-szel különböztetjük meg): [AfAW+AXAA] [Ay2+AX2] ’ArpAA-AXAW] (6) ° [AyA+AX2] Ezen előzetes értékekből (5)-tel számítjuk a III, IV együtthatókat is. A második lépésben a teljes (4) képletből vezetjük le a normálegyenleteket, de a III, IV együtthatókhoz nem rendelünk javítást, mert ezeket (6)-ból elegendő pontossággal számítottuk. Ez jelentős egyszerűsítésként azt jelenti, hogy a hibák négyzetösszegének differenciálásakor a III, IV együtthatókat konstansnak tekinthetjük. A normál egyenletekből a transzformációs együtthatókat most már egyszerű, áttekinthető formában kapjuk meg: HI[zl xp(A ip2 + AX2)] + IVlAXiA^+AX2)] [AyS-AX*] (Za) rT 0 IVtAipiA^+AX^-IIIlAXlA^+AX2)] 0+ [Af2+AX2] , Illj/J rp2 -AX2] + IVf 2AipAX] °~ n (7b) ^ IV[Ay>2 — AXA] — III[2Ay>AX'\ ZL10 — A (6) és (7) képleteket együtt tekintve figyeljünk fel arra, hogy a szögletes zárójelekben szereplő mennyiségek ismétlődően szerepelnek, ez a numerikus feldolgozásban további előnyökkel jár. A fenti módszert valójában iterációszerűen ismételni kellene, de ez a gyakorlatban a jó konvergencia miatt fölöslegesnek bizonyult. A transzformációs együtthatók birtokában a (4) képlettel az első rendszerbeli pontokat transzformáljuk, majd a súlyponti koordináta-rendszerből visszatérünk eredeti rendszerbe: W AW + W0, A AA + A0 (8) Az izometrikus szélesség visszaszámítását ríz földrajzi szélességgé a [9]-ben megadott képletekkel végezhetjük. 3. A transzformáció középhibáinak számítása Az n darab közös pontja a transzformált és a második rendszer eredeti koordinátáinak különbségeként képezzük a maradék hibákat. Belőlük a súlyegységközéphiba: (9) \TJ _ 10 %m n A0= n (4) I = lo n x a= n M .