Hidrológiai Közlöny 2012 (92. évfolyam)
3. szám - Szigyártó Zoltán: Folytonos eloszlások új illeszkedés-vizsgálata – A Fisher–Szigyártó próba továbbfejlesztése
Folytonos eloszlások új illeszkedés-vizsgálataA Fisher-Szigyártó próba továbbfejlesztése Szigyártó Zoltán 1118. Budapest, Somlói út 30/B Előzmények és a tanulmány célja Azzal, hogy a 2005. évi vizsgálataink során bebizonyítottuk, hogy — legalábbis a Tisza völgyében — az évi legnagyobb jégmentes vízállások eloszlása az időben változik (Szigyártó—Bénik-Szlávik Bálint 2005), új helyzet állt elő, így a valószínűségek meghatározása érdekében végzett számításoknak célszerű alkalmazkodniuk a feltárt tényekhez. Tehát ahhoz, hogy (Szigyártó-Bénik 2003) - az eloszlás középértéke időnként ugrásszerűen megváltozik, míg a középértékek körüli szórás a minta származási helyétől (a vízmérce-állomás szelvényétől) függő, időben állandó érték (tehát független a középérték nagyságától), továbbá egy-egy állandó középértékkel jellemezhető időszakon belül az eloszlás továbbra is normális eloszlással jellemezhető. Szerencsére az eloszlás paramétereinek ilyen vagy hasonló jellegű szakaszos változása igen sok más gyakorlati esetben is előfordul, s a valószínűségelmélet az ilyen sajátosságokkal rendelkező valószínűségi változók eloszlásának a kezelésére vezette be a keverékeloszlásokat (Rényi 1954, 239. o.). E szerint az évi legnagyobb jégmentes vízállások eloszlása, mint azt bebizonyítottuk (Szigyártó-Bénik 2003), számítható az Ek(x) = ^i(x'mi'(1) (1) i=I összefüggéssel, amelyben Fk(x) a keverékeloszlás eloszlásfüggvényét, F,x,mi,s) az m, középértékű és s szórású i-ik rész-időszak eloszlásfüggvényét, p,az F,x,mj,s) eloszlásfüggvény súlyát jelöli, amely utóbbi esetünkben számítható a hányadosból, ahol (az adott esetben) Tiz'-edik a rész-időszak hossza, vagyis éveinek a száma (az 1-edik minta elemszáma),az egész minta hossza, vagyis éveinek a száma (a minta elemszáma). Ennek az eljárásnak tehát alapvető sajátossága, hogy a számítások alapját képező minta szakaszosan nem azonos eloszlásból származik, s így nem egyöntetű. Következésképpen ilyen esetben a minta egyes elemei sem lehetnek egymástól függetlenek, hiszen a középérték megváltozását követően a valószínűségi változó (a változás irányától függően) egy alacsonyabb vagy magasabb középérték körül ingadozik. Ha viszont a mintára sem az egyöntetűség, sem pedig annak elemeire a teljes függetlenség nem teljesül, úgy nincs mód a vízimérnökök körében Kolmogorov próbaként ismert (Csoma-Szigyártó 1975, 58. o.) illeszkedés-vizsgálat elvégzésére. Tehát nincs lehetőség annak a gyakorlat szempontjából is fontos kérdésnek az eldöntésére, hogy az empirikus eloszlásfüggvény milyen módon illeszkedik az (1) és (2) öszszefüggéssel meghatározható eloszlásfüggvényre. Keverékeloszlások esetében az illeszkedés mértékének a kiszámításához tehát új eljárásra van szükség. Ez pedig (egy lehetséges megoldásként) kiindulhat az azonos középértékkel rendelkező részidőszakok illeszkedésére elvégzett vizsgálatok eredményiből is. Ha viszont ezt a célt tűzzük ki, újabb gondot okoz az, hogy a középértékek változását felderítő sorozatos statisztikai hipotézis vizsgálat (Szigyártó-Várnainé 1981) eredményeként olyan rész-szakaszokat is kaphatunk, amelyek elemszáma igen gyakran a nagy minták alsó határának tekinthetőn 30 alatt marad, így pedig (a kis elemszám miatt) a teljes minta egyes rész-szakaszaira az illeszkedés-vizsgálatot a már említett Kolmagorov próbával csak igen ritkán lehet elvégezni. Abban az esetben tehát, ha a keverékeloszlás illeszkedés-vizsgálatát a keveréket alkotó minták illeszkedés-vizsgálatára kívánjuk alapozni, e célra egy olyan illeszkedés-vizsgálatra van szükség, amely a minta elemszámától függetlenül, bármekkora minta esetén szabatosan elvégezhető. Ugyanekkor ismeretes, hogy a Fisher által az exponenciális eloszlásokból származó minták illeszkedésének a vizsgálatára kifejlesztett eljárás (Gnyegyenko-Baljajev-Szolovjev 1965, 268. o.) éppen ilyen célból készült. Bár kétségtelen az, hogy a Fisher által levezetett eloszlásfüggvény illeszkedés-vizsgálatra történő felhasználása úgy, ahogyan azt a szerző javasolta, helyes eredményt nem adhat. Az eljárásnak ez a hibája azonban viszonylag könnyen kiküszöbölhető. Ugyanakkor pedig, ha ehhez kapcsolódva a módszert megfelelően továbbfejlesztjük, az bármely folytonos eloszlás szabatos illeszkedés-vizsgálatára alkalmassá tehető (Szigyártó 1980). Ma már azonban látjuk, hogy ezzel a továbbfejlesztett változattal szemben is több kifogás merülhet fel. Ugyanis baj van vele három okból is: Egyrészt azért, mert egy fontos képletébe sajtóhiba került. Másrészt azért, mert a kifejlesztett módszer nem számolt azzal, hogy az eljárás alapjául szolgáló eloszlás nem csak korlátos, hanem aszimmetrikus is. Végül azért, mert (mint utólag megállapítható) a tanulmány szövege inkább matematikusok, mint vízimérnökök számára íródott. Ez pedig az addig elért eredmények szélesebb körű gyakorlati alkalmazását megnehezítette annak ellenére, hogy ennek lehetővé tételére egy kísérlet azért történt (Kontur-Karis-Winter 1993). Mindezeket végiggondolva bizonyára belátható, hogy a korábban közölt eljárás (Szigyártó 1980) továbbfejlesztésére ma már igencsak szükség van. Emellett azonban nyilván szükség van arra is, hogy ennek a továbbfejlesztett új eljárásnak az ismertetése — a gyakorlati szakemberek igényét szem előtt tartva— egységes keretben készüljön. Ezért látszott tehát célravezetőnek az, hogyaz előzőekben felsorolt elméleti vonatkozású hiányosságok kiküszöbölését követően) az eredményeket ismertető anyag minden részlete egy tanulmányban legyen összefoglalva, még akkor is, ha ennek egyes részei a korábbi vizsgálatok eredményét közlő tanulmányban is megtalálhatók (Szigyártó 1980). Fisher eljárása az exponenciális eloszlások illeszkedésvizsgálatára Fisher eredménye szerint (Gnyegyenko-Baljajev-Szolovjev 1965, 268. o.) bármely