ALKALMAZOTT MATEMATIKAI LAPOK 19. KÖTET (A MTA Matematikai Tudományok Osztályának Közleményei, 1999)
1999 / 1. sz. - KARÁTSON JÁNOS: Gradiens-módszer Szoboljev-térben: Lineáris peremértékfeladatok közelítő megoldása polinomokkal
2 KARÁTSON JÁNOS A 3. szakaszban módszerünk konstrukcióját és a fő eredményeket ismertetjük (a bizonyítást a 4. szakasz tartalmazza), az 5. szakasz pedig a számítógépes megvalósítás kérdéseivel foglalkozik másodrendű egyenlet esetén. Köszönetnyilvánítás. Ezúton szeretném megköszönni Dr. Czách Lászlónak, hogy megismertette velem a gradiens-módszerrel kapcsolatos eredményeit és felkeltette érdeklődésemet a témába való bekapcsolódáshoz. 2. A gradiens-módszer Szoboljev-térben Az első két, itt idézett tétel a gradiens-módszer Hilbert-térbeli kiterjesztéseiről szól. A véges dimenziós gradiens-módszert Kantorovics általánosította korlátos lineáris önadjungált operátorra ([7]). Ennek technikailag egyszerűbb, de ugyanolyan konvergenciabecslést nyújtó változata az állandó lépésközű (egyszerű) iteráció: 2.1. TÉTEL (lásd pl. [12]). Legyen H Hilbert-tér, A : H H korlátos önadjungált lineáris operátor, melyre alkalmas 0 › m › M konstansokkal m||x||2 < (Ax,x) < M\\x\\2 (x E Я). Legyen y E ī, ekkor, mint ismeretes, az Ах = Λ egyenletnek létezik egyetlen x* E H megoldása. Válasszunk tetszőleges xq E H kiindulási elemet és legyen Xji .— Xji—i txn {ть ( N ), 2 ahol zn :( Axn-1 — y és t :ρ — . M + m Ekkor az (xn) sorozat lineárisan konvergál x*-hoz, éspedig Szintén [12]-ben olvasható a gradiens-módszer nem korlátos operátorra történő kiterjesztésének összefoglalása. Ha ezt a 2.1. Tételre alkalmazzuk, az alábbi egyszerű iterációt kapjuk: 2.2. TÉTEL: Legyen H Hilbert-tér, D ̇ λ sűrű altér, L :D -· Я szimmetrikus lineáris operátor H-ban, melyre valamely ρо › 0 mellett (Lx, x) > m0\\x\\2 (xED), Alkalmazott Matematikai Lapok 19 (1999)