Geodézia és kartográfia 1986 (38. évfolyam, 1-6. szám)
1986 / 4. szám - Soha Gábor: Robusztus kiegyenlítés mérési javítástól függő súlyozással
Mi a problémát a gyakorlati tapasztalatok oldaláról közelítettük meg. Az elméleti bizonyításban a javasolt súlyfüggvény szerepéből indulnánk ki: az iteratív visszacsatoló súlyozás fokozatosan csökkenti az eloszlást torzító hibák hatását. 5. Számpélda A javításfüggő súlyozással történő kiegyenlítés menetét és egyben tesztelését a kiegyenlítő egyenes példáján mutatjuk be. Alapképlete: y—mx+b (6) Ha az m és b együtthatók meghatározására kettőnél több mérést végzünk, akkor a legkisebb négyzetek módszere szerint az együtthatók súlyozott kiegyenlítéssel való meghatározásának végképlete a következő [15]: [p][pa;y]-[pa;][py] [?W-Ma ’ (z) h __[py][^2]-[^][y^y]. [p][pz2]-[px]2 Konkrét egyenesként az y ^ x+ 1 egyenest válaszszuk (m = 1, 6 ^ 1). Az egyenest adjuk meg hét pontjával, és az ordinátákat lássuk el e szimulált hibákkal, köztük a 3. és 6. pontban kiugró hibákkal . Nézzük meg ezután, hogy a hagyományos és a robusztus kiegyenlítéssel hogyan lehet rekonstruálni az eredeti állapotot. A belső hibát (a mért ésszámított ordináták eltérését) v-vel, a külső hibát (az eredeti és számított ordináták eltérését) u*-gal jelöljük. Az utóbbi képzése: v* ( {x+\)—y (9) Fontos belátni annak jelentőségét, hogy az eredeti egyenes rekonstruálása szempontjából a külső hibák négyzetösszege a meghatározó. Tájékozódásképpen a (8)1alatti a;, y értékeknek a (7)-be való behelyettesítésével és az egyszerűség érdekében azonos súlyú mérések feltételezésével oldjuk meg a mérési eredmények első kiegyenlítését. A számítás eredményei: IIM _ 1 7200,614, 0 0,202 276 Megjegyzés: Mérési súlyozás esetén a (10) v oszlopában a homogenizált javításokat kellene feltüntetni. Értékelés: Úgy tűnik, a 3. és 6. pontnál kiugró hiba van, de nem lehetünk biztosak az értékelésünkben, mert e hibák nem különülnek el határozottan a 2. és 7. pont hibájától. Az eldönthetőség érdekében fokozzuk a kiegyenlítés erősségét hibafüggő átsúlyozással. A két maximális javítás 10 és 200 közé esik, ezért (5) és (3) alapján: 0,6142 7,958 Vele a súlyképlet: T+7,9581 2 1 P(12) Segítségével a második kiegyenlítés súlyai és eredményei: Látható, hogy a 6. mérési pont hibája már erősebben elkülönül a 2. és 7. mérési pont hibájától. A v hibák közeledtek a (8) alatti e hibákhoz, és lényegesen kisebb lett a v* hibák négyzetösszege (0,074460). Iterációszerűen folytatva az eljárást az alábbiakban foglalhatók össze az egyes megoldások főbb jellemzői: illetve: A k — (11) N°X e y 1.0 —0,2 1,2 2.1 0,3 1,7 3.2 —1,04 4.305 3,65 5,405 6.5 0,9 5,1 7.6 —0,15 7,15 5. 4,888 0,112 0,112 6. 5,804 —0,704 0,196 7. 6,720 0,430 0,280 P A y V V* 0,996 1,089 0,111 —0,089 0,395 2,043 —0,343 —0,043 0,123 2,998 1,002 0,002 0,549 3,952 —0,302 0,048 0,909 4,906 0,094 0,094 0,202 5,861 —0,761 0,139 0,405 6,815 0,335 0,185 m 6 [v*v*] 0. 0,9160714 1,2232143 0,2023 1. 0,9543966 1,0887205 0,0745 2. 0,9715513 1,0390975 0,0377 3. 0,9814745 1,0122522 0,0227 4. 0,9874514 0,9961905 0,0164 5. 0,9909466 0,9861542 0,0140 6. 0,9929566 0,9799170 0,0131 V2 V3 ^6V7 [vv\ y] 0,9160714a; + 1,2232143 —0,439 0,945 —0,704 0,430 1,8824 A —0,343 1,002 —0,761 0,335 1,9254 N°y V 17* —0,311 1,018 —0,797 0,282 1,9717 1. 1,223 —0,023 —0,223 —0,294 1,025 —0,820 0,249 2,0049 2. 2,139 —0,439 —0,139 —0,284 1,029 —0,833 0,229 2,0258 3. 3,055 0,945 —0,055 —0,277 1,032 —0,841 0,218 2,0403 4. 3,971 —0,321 0,029 (10) —0,273 1,034 —0,845 0,212 2,0539