Középiskolai Matematikai Lapok 37. (1968, 6-10. szám)
1968-09-01 / 6. szám
Az 1968. évi Országos Középiskolai Matematikai Tanulmányi Versenyek A Művelődésügyi Minisztérium által a III. és IV. osztályos tanulók részére, az összes tárgyak keretében tartott matematikai verseny I. fordulója február 12-én iskolánként, II. fordulója április 17-én megyénként, városonként folyt le, mindkétszer 5 órai munkaidővel. A II. fordulóra 273 tanuló kapott behívót, közülük 48 volt matematika-fizika-szakosított osztály tanulója és 49 valamelyik matematika-szakosított osztály tanulója. A szakosított tantervű, matematikai osztályok részére ez évben is külön versenyt írt ki a minisztérium; a szakosított tantervű matematika—fizika osztályok tanulói viszont az általános tantervű osztályok versenyén vettek részt, de egy kijelölt feladat helyett egy külön feladatot kellett kidolgozniuk. A versenyek tételei a következők voltak. I. forduló, az általános tantervű osztályok részére 1. Bizonyítsuk be, hogy ha a és ß az x2 + px 4-1=0 egyenlet gyökei, továbbá ñ és ő az хг + qx 4-1 = 0 egyenlet gyökei, akkor (CL-y)(ß-y)(* + c)(ß+c) = q*-l -A 2. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert: 2 tg x — tg 2y = 0, 2 tg 2/ +tg 2x = 0, 3. Bizonyítsuk be, hogy ha egy paralelogramma benne van egy egységnyi területű háromszögben, akkor területe legfeljebb 1/2 területegység. A szakosított tantervű matematika—fizika osztályok versenyzőinek a 2. feladat helyett a következőt kellett kidolgozniuk: 2. mf. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert: tg a: = a tg 2y, tg = Ь tg 2x, ahol a, b valós paraméterek. — Van-e bármely a, b értékpár esetén a triviális x = y = 0-tól különböző megoldás? I. forduló, a szakosított tantervű matematikai osztályok részére 1. Bizonyítsuk be, hogy ha a és b 0-tól különböző valós számok, akkor 1 1