Középiskolai Matematikai Lapok 52. (1976, 1-5. szám)
1976-01-01 / 1. szám
azonosak, ha pedig 04+0, akkor sin ( — x)= — sin x miatt an = —xn. Megmutatjuk, hogy ha Os^sl, akkor az xn sorozat konvergens, és a határértéke 0, amiből a fentiek alapján következik, hogy an is konvergens, és a határéréke 0. Ha OsxSl, akkor Ossin xS 1, tehát ha akkor (1) szerint 0^xn+iSl, így (2) 0sa:„il, n= 1, 2, ... Mivel a 0SiSl szakaszon sin x›x, az xn sorozat monoton fogy. Tegyük fel állításunkkal ellentétben, hogy a 0 nem határértéke a sorozatnak. Ez azt jelenti, hogy van olyan eg 0 szám, amelyhez és tetszőleges n természetes számhoz található olyan N^n index, melyre (3) \xn~ 0|Se teljesül. (2) szerint a:N=0, tehát (3) szerint xN^e. Mivel a sorozat monoton fogy, ebből következik, hogy xk^e minden k^N indexre, nevezetesen minden ksn indexre. Mivel itt n tetszőleges, azt kaptuk, hogy (4) n= 1, 2, ... . Megmutatjuk, hogy a 0=x^1 szakaszon az (5) f(x) = x — sin x függvény monoton nő. Valóban, a függvény deriváltjai ezen a szakaszon pozitív: Emiatt (4) esetén f'(x) — 1 — cos £‡0. xn-xn+1 = f(xn)‹f(e)·0 teljesülne tetszőleges n-re, amiből x1>x1-xn+1={x1-x2) + {x2-xi)+ .. .+(xn-xn+1)>nf(e) következne, ami nyilván nem lehet, hiszen(e)1 0 miatt itt a jobb oldal tetszőlegesen nagy lehet, xn viszont egy adott szám. Ezzel beláttuk, hogy ellentmondásra vezet az a feltétel, hogy az xn sorozat nem konvergál 0-hoz, tehát xn konvergens, és a határértéke 0. Megjegyzés: Megoldásunkban az indirekt feltétel nem az volt, hogy xn konvergens, de nem 0 a határértéke, hanem az, hogy nem igaz az, hogy xn konvergens, és 0 a határértéke. Ami azt jelenti, hogy xn vagy nem konvergens, vagy konvergens, de nem 0 a határértéke. Általában, ha egy sorozat monoton fogy, és alulról korlátos, akkor konvergens is — mi azonban nem akartuk felhasználni megoldásunkban ezt a tételt, hiszen nem szerepel a középiskolai tananyagban. Érkezett 141 dolgozat. Megoldotta Bíró Cs., Fehér J., Kramarics G., Márkus G., Nagy J., Néthig L., Papp L., Plutzer I., Ruppert L., Soukup L., Szőnyi T. (4 pont). 1 — 3 pontot kapott 61. Hibás 68, nem versenyszerű 1. F. 1974. A Cfifififififiz konvex szabályos hétszög középpontja O. A Cfi2 és G10i átlók metszéspontja M, a Cfii és a Cfi5 átlók metszéspontja N. Bizonyítsuk be, hogy az MN egyenes merőleges az OCD egyenesre. Lásd : 1989. megoldását ezen számban. 5