MAGYAR FIZIKAI FOLYÓIRAT - A MTA III. OSZTÁLYÁNAK FIZIKAI KÖZLEMÉNYEI 14. KÖTET (1966)
14. kötet / 1. sz. - PÓCSIK GYÖRGY: A kvantum térelmélet alapelvei és legújabb eredményei. III.
PÓCSIK GY. Fennáll -4(и + 1) [ (3) м-1,,(г) = (2пГМл + 1) | е~ föw.-p(p)(2„)4. A következő lényeges állítást látjuk be: T. wp,„(z) al. K(0P holomorf a z — (zj) ill. Τ = (zp0) — zp(i+1)) változóban a ill. Tp = {z\ Im(zp(i)-zpU + 1))GK_; / = 0, ..., n-\) T„,n = {Cl Im(zpl0-zP(i+1))μF_; / = 0, ...,«-1) p.n permutált csőben. V_ = V° a múlt kúp belseje. Az állítás a spektrum feltételen múlik. Először szemléletesen nézzük (2), (3)-at. A spektrum feltételből láthatóan z £ Tp, С £ Tp„-re lm (Λ z, z)— — <», ha — W tartójában, ezért itt exp (—i(q, z)) egy .S^-beli függvénynek tekinthető, (3) a С változót tartalmazó véges disztribúció. (3) C-ban folytonos és (zp(i) — zp(i + 1))-ben holomorf, így Гр„-Ьеп C-ban holomorf. De akkor wPiP(z)-re is igaz az állítás (A holomorfitásra nézve: 1. Függelék.) A pontos bizonyítás Schwartz Laplace transzformáltra vonatkozó tételén alapszik (3. Függelék). Ez közvetlenül alkalmazható, a jelölés megfeleltetése: ,v— q, p-*sz, Г + —i Tv\ analóg (3)-nál. A lényeg tehát az, hogy a Fourier transzformált tartója az előre kúp, így Г-t hátrakúpok szorzataként kell választani, hogy ΣP(tVp)-nek értelme legyen. Ekkor az állítás automatikusan igaz. (Pontosabban először mindig TPt-re és (3)-ra következik, abból (2)-re.) IL Flam (zp(i) — zp( + 1)) V_ kompakt részhalmazában van, akkor kp p(z) a Rez polinomja alatt marad. Sőt a spektrum-feltétel miatt wpp(z) még erősebben is megszorítható. Minthogy Wv mérsékelt disztribúció, további megszorítás adódik vrP p(z)-re: a valós tengely közelében p(z) polinomnál nem nőhet gyorsabban. Mindezeket a korlátozásokat a 3. Függelékekben tárgyaljuk részletesen. Tulajdonképpen ezek a tulajdonságok indokolják, hogy csak renormálható elméletek Wightman-függvényei tárgyalhatók megfogalmazásunkban. Valóban, nemrenormálható elméletekben, pl. a koordináta rendszer origójában polinomnál erősebb növekedések lépnek fel. Egy ilyen elméletben tehát a Wightman-függvény nem lehet mérsékelt disztribúció az ^-téren. III. Fordított tulajdonság: Ha n'p,p(z) valamilyen z-ben a Tp csőben holomorf függvény, akkor Imz— 0 (a Tp-ből) határértéke disztribúcióként létezik, azaz ff &-re (5) (4) •a(P.k)ö \2 1p(í) <7р(о) ••• 21 9р(о dqP(oy..dqP(n) О О о к il lim p-0 x + iy£Tp