Középiskolai Matematikai Lapok 34. (1967, 1-5. szám)
1967-01-01 / 1. szám
Az 1966. évi Arany Dániel tanulóversenyek I. fordulóján kitűzött feladatok megoldása (Kezdők versenye) 1. feladat. Két egybevágó paralelogramma egyenlő oldalai párhuzamosak. Mindkét paralelogrammában megjelöljük a csúcsokat, az oldalak felezőpontjait, és az átlók metszéspontját. Minden lehetséges módon kiválasztunk egy pontot az első paralelogramma megjelölt pontjai közül, valamint egy pontot a második paralelogramma megjelölt pontjai közül, és megszerkesztjük a két kiválasztott pont közti szakasz felezőpontját. Hány különböző felezőpontot kapunk így? Megoldás: Jelölje az egyik (P) paralelogramma csúcsait A, B, C, D, az AB, BC, CD, DA oldalak felezőpontját rendre E, F, G, H, az átlók metszéspontját J. A másik (P') paralelogramma ebből eltolással kapható meg; legyenek a megfelelő megjelölt pontjai A', B', C', D', E', F', G', H', J' (1. ábra). Mind a két paralelogramma megjelölt pontjaiból egymástól függetlenül 9-féleképpen választhatunk ki 1 — 1 pontot, ezek 9 • 9 — 81 szakaszt határoznak meg. A különböző felezőpontok számának megállapításában P és P' megjelölt pontjaiból egyszerre mindig olyan 3-at—3-at veszünk figyelembe, melyek egy az AB oldallal párhuzamos oldal vagy középvonal pontjai. Az A, E, Ĺ és A', E', B' pontok 9 szakaszt határoznak meg, ezek közül az ABB'A' paralelogramma középpontja felezi a két átlót és az οЕ' középvonalat, tehát 3 szakaszt; az AEE'A' és EBB'E' paralelogrammák középpont- 1