Középiskolai Matematikai Lapok 42. (1971, 1-5. szám)
1971-01-01 / 1. szám
» Pályázat az inverzióról Az alábbiakban az inverzióra vonatkozó feladatokat közlünk. E feladatok megoldását bárki beküldheti a szokásos módon: minden feladat megoldását külön lapon kérjük, beküldési határidő 1971. április 25. Kérjük a versenyzőinket, hogy pályázatunkra küldött megoldásaikat külön borítékba tegyék, a borítékra írják rá, hogy „Pályázat az inverzióról”. A közölt feladatok alkalmazását három példán mutatjuk be. Az inverzióra vonatkozó szükséges ismeretek megtalálhatók például a K. M. L. 37. kötet 97 — 101. oldalán (1968. november). Megemlítjük továbbá, hogy az inverzióval kapcsolatos a pontversenyen kívül közölt 12., 28., 31. és 44. probléma. 1. feladat. Legyen az inverzió alapkövének középpontja 0, sugara 1, a sík két tetszőleges, O-tól különböző pontja Q és S, ezek inverze Q' és S'. Bizonyítandó, hogy tehát Q'S' _ OS' _OQ' QS~ OQ~ OS ' I. példa (Apollóniosz kör). Adott a síkban két különböző pont, A és B, továbbá egy pozitív valós szám A (A^1). Azoknak a pontoknak a mértani helye a síkban, melyek A-tól A-szor akkora távolságra vannak, mint S-től, egy kör, melyre A-t invertálva A-t kapjuk. Állításunkat a A = 1 esetre vezetjük vissza az inverzió segítségével. Legyen egyelőre az inverzió alapköve tetszőleges (középpontja 0, sugara 1), az adott A, В pontok és a tetszőleges P pont inverze А', В', P'. (Feltesszük, hogy A, B, P és D különbözőek.) Az 1. feladat alapján A P' OP' B'P' OP' АР О A ’ BP ~OB ’ A'P' AP OB B'P' , BP OA' 1 1