Mathematikai és Természettudományi Értesítő, 35. kötet, 1917.
HAAR ALFRÉD: A kettős integrálok variatiójáról
2 HAAR ALFRÉDá sodik differentiálhányadosainak létezése; az HADAMARD-féle példából nyomban kitűnik, hogy egy kettős integrál első variatiója eltűnhetik, anélkül, hogy a benne szereplő függvény második differentiálhányadosai léteznének. Ezek után első pillanatra lehetetlennek tűnik fel egy kettős integrál első variatiójának eltűnését további megszorítás nélkül, differentiálegyenletek segélyével kifejezni, más szóval a megfelelő variatioprobléma megoldására differentiálegyenleteket levezetni anélkül, hogy e megoldás második differentiálhányadosának létezését feltételeznék. Ennek daczára sikerül egy ilyen differentiálegyenlet levezetése egy olyan tétel segélyével, mely mindenben analóg a fent említett Du Bois REYMOND-féle tétellel s a mely a kétváltozós függvények elméletében ugyanazt a szerepet játszsza, mint amaz az egyváltozós függvények körében. Ez a tétel, melynek bebizonyítása legfőbb czélja ennek a dolgozatnak, a következőképen hangzik: Ha u (x, y) és v (x, y) olyan függvényei az x és y független változóknak, melyek egy megadott T tartomány belsejében folytonosak, és ha mindazokra, a C (pc, y) függvényekre nézve, melyek e tartomány határán elűnnek, belsejében pedig x és y szerint folytonosan differentiálhatók, akkor — bármely a T tartomány belsejében fekvő zárt görbét jelöli — a következő integrál: f (udy — vdx) (C) értéke zérussal egyenlő. Más szóval a mondott feltételek mellett létezik egy oly w (x, y) függvény, melynek első differentiálhányadosai tartományunkban folytonosak s amely kielégíti a egyenleteket. //(«!+»£)**-”· (T) y ~=-v(x,y), ^-=u(x,y)