Mathematikai és Természettudományi Értesítő, 35. kötet, 1917.

HAAR ALFRÉD: A kettős integrálok variatiójáról

2 HAAR ALFRÉDá­ sodik differentiálhányadosainak létezése; az HADAMARD-féle pél­dából nyomban kitűnik, hogy egy kettős integrál első varia­tiója eltűnhetik, anélkül, hogy a benne szereplő függvény má­sodik differentiálhányadosai léteznének. Ezek után első pillanatra lehetetlennek tűnik fel egy ket­tős integrál első variatiójának eltűnését további megszorítás nélkül, differentiálegyenletek segélyével kifejezni, más szóval a megfelelő variatioprobléma megoldására differentiálegyenle­teket levezetni anélkül, hogy e megoldás második differen­tiálh­ányadosának létezését feltételeznék. Ennek daczára sike­rül egy ilyen differentiálegyenlet levezetése egy olyan tétel segélyével, mely mindenben analóg a fent említett Du Bois REYMOND-féle tétellel s a mely a kétváltozós függvények elmé­letében ugyanazt a szerepet játszsza, mint amaz az egyváltozós függvények körében. Ez a tétel, melynek bebizonyítása legfőbb czélja ennek a dolgozatnak, a következőképen hangzik: Ha u (x, y) és v (x, y) olyan függvényei az x és y füg­getlen változóknak, melyek egy megadott T tartomány belsejé­ben folytonosak, és ha mindazokra, a C (pc, y) függvényekre nézve, melyek e tartomány határán elűnnek, belsejében pedig x és y szerint folytonosan differentiálhatók, akkor — bármely a T tartomány belsejé­ben fekvő zárt görbét jelöl­i — a következő integrál: f (udy — vdx) (C) értéke zérussal egyenlő. Más szóval a mondott feltételek mel­lett létezik egy oly w (x, y) függvény, melynek első differen­tiálhányadosai tartományunkban folytonosak s a­mely­ ki­elégíti a egyenleteket. //(«!+»£)**-”· (T) y ~=-v(x,y), ^-=u(x,y)

Next