Matematikai Lapok, 1965 (16. évfolyam, 1-4. szám)
1965-11-01 / 1-2. szám
Tegyük fel, hogy a G(x) polinom reducibilis a 10 fölött. (T) G(x) = Q(x) JJ(x-ak)±l = g{x)-h{x), k= 1 ahol a g{x) és h(x) racionális egészegyütthatós polinomok 1 főegyütthatóval. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy a g(x) polinom a G(x) egyik legkisebb fokú (irreducibilis) tényezője, s így Gradg(x) = Grad G(x) 2 n — 1. Az (T)-ből következik, hogy G(ak) = g(ak)h(ak) = + 1, (*=1,2,...,n). Ebből mindjárt azt látjuk a g(ak) és h (ak) racionális egész volta miatt, hogy g(ak) = ±h(ak) = ± 1 (* = 1, 2, ..., n) Az (2) (ak ae)\(g(ak)-g ae)) oszthatósági reláció mindig érvényes, [minden / ^ *-ra]. De a g(ufc) —g(ei) értéke csak legfeljebb a 2,0 vagy a—2 számok egyike lehet. A (2) oszthatósági reláció miatt pl. (2’)(a4 — a1)\(g(a4) — g(a1))= s 2’ = 10, így (3) miatt g(a4)=g(a1) hasonlóképpen =g(a5) =... =g(an). 1-2. Az oszthatósági reláció miatt (a6 — a2)\(g(a6) — g(a2)) és (tz6 — a3)| (g(a6)-g(a3). De a 2(a6 -a3)g(a6 -a2) egyenlőtlenség és a g(a6)| 2’ — g (a3) valamint a g(a6) — g(a2) lehetséges értékei 1 0, miatt (4) g(fl6)=g{a2)=g{a3) A (3) és (4) összefüggések azt mutatják, hogy g(a1)=g(a2) = ...=g(an). 1—2. (3) Ha pl. 1 = 4, 5, ..., n és 1=1, akkor 2·a4 —1 Ha pl. 1 = 2 és 1c — 6 a6—a2·2,=3 és * = 6 e6—a3· 2. Ugyanis az e1, a2, ..., az egymástól páronkint különböző racionális egész számok.