ALKALMAZOTT MATEMATIKAI LAPOK 15. KÖTET (A MTA Matematikai és Fizikai Tudományok Osztályának Közleményei, 1990-1991)
1990-91 / 1-2. sz. - Hatvani László: Közönséges differenciálegyenletek megoldásainak stabilitásáról mechanikai alkalmazásokkal
HATVANI L. 5. fejezet: A határegyenlet módszere 66 5.1. Autonóm rendszerekre vonatkozó tételek 67 5.2. Holonóm és ankolonóm mechanikai rendszerek 71 5.3. Kiegészítő megjegyzések 75 6. fejezet: Energia-típusú Ljapunov-függvények 75 6.1. Általános rendszerekre vonatkozó tételek 76 6.2. Az egyensúlyi helyzet aszimptotikus stabilitása a sebességekre vonatkozóan 79 6.3. Kiegészítő megjegyzések 81 7. fejezet: Utószó 81 Jelölések 84 Irodalom 86 Bevezetés A stabilitás fogalma a mechanikából ered. Mint ismeretes, egy mechanikai rendszer állapotát helyzete és sebessége határozza meg, amelyeket közös néven állapothatározóknak nevezünk. Egy egyensúlyi helyzetet stabilisnak mondunk, ha a rendszer mozgásai során az állapothatározóknak a nyugalmi állapottól való eltérése tetszőlegesen kicsiny marad, feltéve, hogy a rendszer az egyensúlyi helyzethez elegendően közelről indult elegendően kicsiny kezdő sebességgel. Ha az eltérés még nullához is tart, amint az idő végtelenbe tart, az egyensúlyi helyzetet aszimptotikusan stabilisnak mondjuk. Ha az egyensúlyi helyzet nem stabilis, akkor instabilisnak nevezzük. Például, a matematikai inga pályájának legalsó pontja stabilis egyensúlyi helyzet, a pálya legfelső pontja viszont instabilis. Tekintsünk most általánosabban egy olyan, időben változó rendszert vagy folyamatot, amelynek matematikai modellje egy (0.1) i = X(x,t) (<>0, x£Rk) közönséges differenciálegyenlet-rendszert az időt jelöli, x pedig a rendszert jellemző állapothatározókból álló vektor. Jelölje x(f;xo,›o) a (0.1) egyenlet x(›o;xo,›o) = ^a feltételnek eleget tevő megoldását. Az xq kezdeti állapot meghatározása méréssel történik, tehát nem abszolút pontos. Ha a valódi Xq állapotra méréssel a£ közelítés adódott, akkor modellünk alapján arra a következtetésre jutunk, hogy a rendszer az időpillanatban az x(Λ,£,λo) állapotban található, pedig x(‹,xo,fo) lesz a valódi állapota. A modell csak akkor használható a gyakorlatban a rendszer leírására, ha ez a két állapot kicsit tér el egymástól, feltéve, hogy x elég jól közelíti xo-t. Ugyanazzal a problémával kerültünk szembe az általános (0.1) differenciálegyenlet egy tetszőleges x(0,xo,xo) megoldására vonatkozóan, mint az előbb egy mechanikai rendszer egyensúlyi állapotának tanulmányozásánál. A stabilitás egzakt matematikai elméletének megalapozója a kiemelkedő orosz mechanikus és matematikus, A.M. LJAPUNOV. 1892-ben megjelent doktori értekezésében — elvonatkoztatva a mechanikai rendszer egyensúlyi állapotától — megadta a (0.1) egyenlet tetszőleges megoldása stabilitásának ma is használatos definícióját : az x(f;x0,o) megoldás stabilis, ha azx(f;£,x0) — z(f;x0,o) eltérés tetszőlegesen Alkalmazott Matematikai Lapok 15 (1990-91)