Középiskolai Matematikai Lapok 39. (1969, 6-10. szám)
1969-09-01 / 6. szám
Az 1969. évi Országos Középiskolai Matematikai Tanulmányi Versenyek A verseny szervezésében a múlt évihez képest egyrészt az volt a változás, hogy az I. fordulóból a II-ba 8 feladat közül tetszés szerint választottak megoldásával szerzett pontjaik alapján juthattak tovább a versenyzők, általános és szakosított tanterv szerint tanulók egyaránt — az utóbbiak esetében azonban természetesen nagyobb volt a szükséges minimális pontszám —, másrészt, hogy a II. fordulóban a szakosított tantervű matematika-fizikai osztályok megkülönböztetés nélkül vettek részt az általános tantervű osztályok versenyében. A február 11-én tartott I. forduló alapján 260 versenyző kapott behívót az április 16-án tartott II. fordulóra, közülük 91 volt valamelyik szakosított matematikai osztály tanulója. A versenyek tételei a következők voltak. I. forduló. 1. Fejezzük ki a-val az kifejezést, ha α — Ух — 3 +x—1 a* + 20a2 + 16 x =-----------------4a2 és 00as2. 2. Egy háromszög oldalai a, b és c, területe 1, továbbá fennáll a következő összefüggés: (a + b + c) (a + b — c) = 4. Bizonyítsuk be, hogy a háromszög derékszögű. 3. Bizonyítsuk be, hogy ha az a és b számok egyike sem negatív, akkor a 3 — 3ab2 + 263 sem negatív. 4. Bizonyítsuk be, hogy 2m + 15n — 1 osztható 9-cel, bármilyen természetes szám is n. 5. Adott a síkon két egymást metsző egyenes. Bizonyítandó, hogy azoknak a pontoknak mértani helye (a síkon), amelyekre nézve a két egyenestől mért távolságok négyzetösszege egy adott pozitív számmal egyenlő, ellipszis. 6. Egy síklapú, kétcsúcsú konvex test egyik lapja a 12 cm oldalú ABCD négyzet, egy másik lapja a négyzettel párhuzamos síkban fekvő EFC szabályos háromszög. E háromszög E csúcsának a merőleges vetülete a négyzet síkján egybeesik ,4-val, az F és vetülete pedig a BC, ill. CD oldalon van,7-től egyenlő távolságra. A testnek van még egy szabályos háromszög lapja. Mekkora az ABCD és EFG lapok távolsága? 7. Legyen xY pozitív, 1-nél kisebb szám. Ebből kiindulva képezzük az xk+i=xk-xl (£=1,2,...) előírással meghatározott sorozatot. Mutassuk meg, hogy n bármekkora, x\+x\+----+Жп· 1, 8. Az ABC háromszögben az A és а В csúcsból induló súlyvonalak merőlegesek egymásra. Bizonyítsuk be, hogy e háromszög C csúcsánál fekvő szögre 4 coltr— . 5 1