Középiskolai Matematikai Lapok 44. (1972, 1-5. szám)
1972-01-01 / 1. szám
Feladatmegoldások F. 1716. Az ABCD négyzet köré írt kör rövidebb AB ívének felezőpontja E. Egy, az E-n átmenő e egyenes AB-t P-ben, CD-t Q-ban metszi. Mely e egyenesekre érvényes a következő állítási „Az a hiperbola, melynek aszimptotái párhuzamosak az AG, BD átlókkal, amelynek középpontja a PQ szakasz felezőpontja és amely átmegy P-n, érinti a négyzetbe írt kört.” Megoldás: 1. Helyezzünk ábránkra koordináta-rendszert úgy, hogy origója az ABCD N négyzet középpontjába essék és A koordinátái (1; — 1) legyenekaz ábra a és B része). Így A (1; 1), C (— 1; 1), D (— 1; —1), továbbá az E pont (/2; 0), az E-n átmenő és AB-t metsző tetszőleges e egyenes egyenlete (1) g = m(x—12), ahol m bármely valós szám. Minthogy azonban E rajta van iV-nek А В-то merőleges szimmetriatengelyén, az x tengelyen, és így az m iránytangensű e-ből kiindulva készített ábrát az x tengelyre tükrözve a ( —m)-hez tartozó ábrát kapjuk, azért elég az msO értékeket tekinteni. A kérdéses P pont (l)-ből: (l; m—m/2), hiszen AB egyenlete x — 1, viszont Q abszcisszája —1, mert CD egyenlete x — — 1, így a hiperbola középpontjának abszcisszája a felezés folytán 0, s mivel Λ is rajta van e-n, ezért K(0; —m/2). A két aszimptota iránytangense N átlóiból -fi és — 1, tehát egyenletük (mivel átmennek K-n): (2) у = х—тУ2, (2') у=—х — тУ2. A hiperbola valós és képzetes (szimmetria) tengelye felezi az aszimptoták közti szögeket, tehát egyikük maga az x tengely, a másik párhuzamos az x tengellyel. Ebben a tengelyállásban az aszimptoták iránytangense általában adja, ahol b és a a hiperbola (xja)2—(yjb)2= 1 középponti egyenletének állandói, esetünkben tehát a/a= 1, b = a. A hiperbola egyenletének felírásához éppen azt kell még megállapítanunk, hogy szimmetriatengelyei közül melyik a valós tengely, ti. az, amely a két aszimptota által létrehozott 4 síknegyed közül a P hiperbolapontot tartalmazó negyedben halad. [Maga P nem lehet két síknegyed határán, egyik aszimptotán sem, mert hiperbolának nincs pontja (a végesben) az aszimptotáján, tehát P koordinátáival nem teljesülhet (2), emiatt az mal értéket figyelmen kívül kell hagynunk.] Behelyettesítve P koordinátáit (2) bal és jobb oldalának különbségébe: Ide és a továbbiakra vonatkozóan lásd: Hack Frigyes—Kugler Sándorné: Függvénytáblázatok. Matematikai és fizikai összefüggések. Tankönyvkiadó, Budapest, 1968. 86—87. old., 386. 1—386. 7. számú összefüggések. 1 1