Középiskolai Matematikai Lapok, 1991 (41. évfolyam, 1-10. szám)
1991-01-01 / 1. szám
A kontinuumsejtés A halmazokkal foglalkozó matematikai tudományág, a halmazelmélet alig száz éves tudomány , ami a matematika igen kevés területéről mondható el. Georg Cantor (1845-1918) német matematikus volt az, aki az 1880-as években lényegében egyedül alkotta meg a halmazelmélet alapvető fogalmait és tételeit. Kevés ilyen matematikai tudományág van, amelyről elmondhatjuk, hogy egy ember nevéhez kapcsolható! Szinte önként adódik a kérdés, mi lehet az oka, hogy a halmazelmélet, amely nélkül a matematika szinte el sem képzelhető, ilyen későn alakult ki. Megkockáztatom azt a feltevést, hogy ennek egyik döntő oka Euklidesz (i.e. 300 körül) és művének, az „Elemek”-nek hatalmas tekintélye volt. Euklidesz az Elemek első könyvében az Axiómák között a 8.-ban ezt mondja: „Az egész nagyobb, mint a rész.” Galilei (1564-1642) számára ezért tűnt meg paradoxonnak az a megfigyelése, hogy ugyanannyi négyzetszám van, mint ahány pozitív egész szám, hiszen a pozitív egész számok és a négyzetszámok kölcsönösen egyértelműen megfeleltethetők egymásnak. Felcsillant a lehetősége egy olyan definíciónak, amely megállapítja, hogy két végtelen halmaz mikor tartalmaz „egyenlő számú” elemet, de Euklidesz tekintélye hatott. A négyzetszámok részhalmazát alkotják a pozitív egész számok halmazának, az egész nagyobb mint a rész, tehát ez a megfigyelés csak egy paradoxon. Bolzano (1781-1848) cseh matematikus, halála után, 1851-ben megjelent könyve, melyben egy sor hasonló észrevétel található, még mindig ezt a címet viselte: „A végtelen paradoxonjai”. Georg Cantor volt az első, aki szakítani mert a 8. axiómával és bevezette a következő definíciót: két (végtelen) halmazról akkor mondjuk, hogy egyenlő a számosságuk, más szóval ekvivalensek, ha elemeik között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. Ebben az értelemben Galilei megfigyelése azt mutatja, hogy a pozitív egész számok N+ halmazának és a négyzetszámok halmazának számossága egyenlő, másképp mondva a két halmaznak ugyanannyi eleme van, a rész nem kisebb, mint az egész, a végtelen halmazok körében a 8. axióma nem igaz. Nézzünk néhány további, már Cantor gondolatmenetét felhasználó összefüggést végtelen halmazok körében. Az egész számok Z halmaza ekvivalens a természetes számok N halmazával. Ezt például a következő kölcsönösen egyértelmű megfeleltetéssel láthatjuk be: 1