Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok, 1993 (43. évfolyam, 1-10. szám)
1993-01-01 / 1. szám
A XXXIII. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia feladatainak megoldásai 1. Határozzuk meg az összes olyan a, b, c egész számot, amelyekre 1 . a , b , c, és (a - 1)(c - 1)(c - 1) osztója (abc - 1 )-nek. Megoldás: Az a, b, c párossága megegyezik. Ha ugyanis a három szám között páros és páratlan is szerepelne, akkor (a - 1)(6- 1)(c- 1) páros, abc - 1 pedig páratlan lenne, egy páros szám pedig nem lehet osztója egy páratlannak. Legyen _ abc - 1 azaz (1) abc - 1 · /i(a - 1)(6 - 1)(c - 1). Mivel (abc - 1) (a - 1)(6 - 1)(c - 1) = a(6 — 1) + 6(c — 1) + c(a — 1) ± 0, nyilván h · 1; másrészt Megmutatjuk, hogy a · 4. Ha ugyanis a^4 volna, akkor (mivel a,b,c azonos paritásúak) 6^a+2^6 és O& + 2^8 lenne, ezért (2) alapján Ez azonban ellentmondás, mert h egész és nagyobb 1-nél. Ezután a feladatot két esetre bontjuk aszerint, hogy a értéke 2 vagy 3. 1. Ha a ^ 2, akkor abc - 1 páratlan, emiatt h sem lehet páros. Másrészt 6 ^ 4 és 0 6, ezért (2) alapján Az egyetlen ilyen lehetséges h érték a 3. A feltételezett a = 2 és a kapott h = 3 értéket behelyettesítve (1)-be: 26c- 1 =3(6- 1)(c- 1). Átrendezve és szorzattá alakítva: 6c — 36 - 3c + 4 = 0; (6 - 3)(c - 3) = 5. Mivel a bal oldalon mindkét tényező pozitív, és a második tényező a nagyobb, ez pontosan akkor teljesül, ha 6 - 3 = 1 és c - 3 = 5, vagyis ekkor a = 2, 6 = 4, c = 8. (2) ha abc (1-1K6-1KC-1)’ (a — 1)(6 — l)(c — 1) (1 + a— l) (1 + b-l) (1 + c-l)’ 1