Vasi Szemle, 2018 (72. évfolyam, 1-6. szám)
2018 / 6. szám - ARCKÉPCSARNOK - Molnár Zoltán Tamás: "Mértékre vesz minden számot és tért" (Bitnitz Lajos, a matematikus)
2018. LXXII. ÉVFOLYAM 6. SZÁM A harmadik ilyen típusú gondolat egy konkrét szabályos sokszög beírható és köré írható köre sugarának meghatározásáról szól. Könnyen elképzelhető, hogy ha egy szabályos sokszög oldalszáma egyre nagyobb (tart a végtelenhez), akkor az előbb említett két kör sugara is egyre jobban megközelíti egymást - előbb-utóbb egyenlőek lesznek. Bitnicz tanulmányában a 8192 oldalú szabályos sokszög körei sugarának kiszámítását látjuk: már ennél a sokszögnél (a területét 4-ben adta meg Bitnicz) egyező kerekített értéket kapunk, amely 1,1283792. Feltehetjük, hogy az így kapott kör(ök) területe is 4, innen pedig már (a kör területképlete alapján) visszaszámolható a közelítő értéke, amely a dolgozat szerint ebben az esetben is 3,1415926. Bitnicz tanulmánya ezek után nehezebb módszereket mutat be, a felsőbb matematika, az analízis eszközei következnek. A sinus és a cosinus függvények hatványsorát vehetjük észre. Végtelen összegeket kapunk a 71/4, valamint a n/6 értékre, és előkerülnek a komplex számok (azok trigonometrikus és exponenciális alakjával) is. Mindezeket (és még egyéb trigonometrikus összefüggéseket) felhasználva jutunk el a ji/12 közelítő értékéhez (0,26179939), amelyből a k értékére a 3,141592653589 adódik. Itt említi meg Bitnicz azt, hogy hasonló módon, de a gyökvonások elkerülésével dolgozott Leonhard Euler (1707-1783), aki a 45°-os szög (x/4-ként is megadható) tangensét (illetve a kiszámított értékeket mint arcus tangens értékeket) vette alapul számításai során. Olvashatunk arról, hogy a matematika fejlődése során hogyan próbálták meg a n értékét egész számok hányadosaként használni, illetve mely matematikusok tudták legelőször kiszámítani a ti közelítő értékét 72, 100, 127 vagy akár 140 tizedesjeggyel. Bitnicz tanulmányának záró részében igazolást láthatunk arra, hogy az valóban irracionális (összemérhetetlen), azaz nem írható fel két egész szám hányadosaként. A dolgozat keletkezésekor még nem volt ismert, hogy a ji transzcendens is, azaz az ilyen hosszúságú szakasz nem szerkeszthető, így a kör négyszögesítésének problémája sem oldható meg, bár az sejthető volt már akkor, hogy nem lehet egyenlő területű kört és négyszöget konstruálni: „Könnyű már ezekből eldönteni a kérdést: e feladásra nézve mit lehetne még tulajdonképen tenni, és mi haszna lenne tökéletes megfejtésének. Többnyire a kör négyszegítését keresőket azon remény kecsegtető, hogy a kör és átmérő közti viszonyt egész számban fogják kitalálni. Reményük, mint látók, füstbe ment, sőt igen hihető, hogy a-t még gyökérjegyű (radicális) nagyságokkal sem lehet teljesen kifejezni s azért e feladásra nézve már semmit sem tehetni. Jó volna, ha valaki ez utolsó állítást szorosan megmutatván, minden próbálgatás útját egyszerre elvágná.”25 Ettől függetlenül létezik (és ezt Bitnicz megmutatta dolgozatában) olyan eljárás, melynek segítségével egy majdnem n hosszúságú szakasz szerkeszthető, és az a gyakorlatban használható. Vegyünk fel egy C középpontú, egységnyi sugarú kört és abban az AB átmérőt. Az A és B pontok mindegyikében állítsunk merőlegest erre az átmérőre. A B-t tartalmazó egyenesen vegyük fel a D pontot úgy, hogy a BD szakasz hossza a sugár háromszorosa legyen. Az A pontból mérjünk fel egy sugárnyi távolságot a körre, így kapjuk meg a körvonalon az F pontot. (Ekkor természetesen az AF szakasz hossza egységnyi.) Az AF szakasz felezési pontja legyen a G pont. A CG egyenes pedig az A pontot tartalmazó, az AB átmérőre merőleges egyenest (ezt húztuk meg a szerkesztés elején) messe az E pontban. Azt állíthatjuk, hogy az így kapott ED szakasz hossza jól közelíti a Zt értékét. Mert az ACF háromszög 25 BITNICZ 1835b. 170. old.